Phương pháp Sainte-Laguë và Webster: chia ghế bằng số chia lẻ 1, 3, 5

Phương pháp Sainte-Laguë chia ghế bằng cách lấy số phiếu của mỗi bên chia lần lượt cho các số lẻ 1, 3, 5, 7…, rồi trao ghế cho những thương số lớn nhất. Ở Mỹ cùng phép tính này mang tên phương pháp Webster, theo thượng nghị sĩ Daniel Webster. Nó tương đương với việc làm tròn thông thường (từ 0,5 trở lên thì lên), nên không nghiêng về bên lớn hay bên nhỏ, và được giới toán học phân bổ đánh giá là sát tỉ lệ nhất trong các phương pháp số chia.

Hai người, hai thời, một công thức

Daniel Webster, thượng nghị sĩ bang Massachusetts, đề xuất phương pháp này năm 1832 khi Quốc hội Mỹ tranh cãi về việc phương pháp Jefferson trao quá nhiều ghế cho New York. Ý của ông đơn giản: chọn một số dân chung, lấy dân số mỗi bang chia cho nó, rồi làm tròn như người ta vẫn làm tròn, thay vì bỏ hết phần lẻ. Quốc hội áp dụng cách này cho cuộc điều tra năm 1840, rồi dùng lại từ năm 1911 đến 1930.

Gần tám mươi năm sau, năm 1910, nhà toán học người Pháp André Sainte-Laguë đi tới cùng công thức theo con đường khác. Ông đặt câu hỏi: chia ghế thế nào để tổng bình phương độ lệch giữa tỉ lệ ghế và tỉ lệ phiếu là nhỏ nhất? Lời giải là dãy số chia lẻ 1, 3, 5, 7… Hai cách tiếp cận, một đến từ thực tế chính trường, một đến từ phương pháp bình phương tối thiểu, cho cùng một kết quả.

Vì sao lại là số lẻ

Hãy so ba dãy số chia, cho tiện đều chia đôi:

• D'Hondt dùng 1, 2, 3, 4… tức là 1, 2, 3, 4 lần "một ghế". Một bên được ghế thứ n+1 khi phiếu của nó chia cho n+1 vẫn còn lớn. Tương đương làm tròn xuống.
• Sainte-Laguë dùng 1, 3, 5, 7…, chia đôi ra là 0,5; 1,5; 2,5; 3,5… Một bên được ghế thứ n+1 khi phiếu của nó chia cho n + 0,5 còn lớn. Tức là ranh giới đặt đúng ở điểm giữa hai số nguyên, giống làm tròn thông thường.

Nói cách khác, Sainte-Laguë tìm một số chia d sao cho khi lấy phiếu mỗi bên chia cho d rồi làm tròn đến số nguyên gần nhất, tổng vừa bằng số ghế. Vì làm tròn lên và xuống có cơ hội như nhau, về trung bình không bên nào được lợi vì cỡ của mình.

Ví dụ tính tay: 10 ghế, năm danh sách

Năm danh sách A, B, C, D, E nhận 42.000, 31.000, 15.000, 8.000 và 4.000 phiếu, tranh 10 ghế. Bảng thương số với số chia lẻ:

Mười thương số lớn nhất: 42.000, 31.000, 15.000, 14.000, 10.333, 8.400, 8.000, 6.200, 6.000 và 5.000. Kết quả: A 4 ghế, B 3, C 2, D 1, E 0.

Đối chiếu với phần đúng (tỉ lệ phiếu nhân 10): 4,2 – 3,1 – 1,5 – 0,8 – 0,4. Làm tròn thông thường từng con số cũng ra đúng 4 – 3 – 2 – 1 – 0, tổng vừa 10. Với cùng số liệu, D'Hondt cho 5 – 3 – 1 – 1 – 0: ghế của C chuyển sang A. Đây là hình ảnh thu nhỏ của khác biệt giữa hai phương pháp.

Kiểm tra bằng số chia: chọn d = 10.000. A: 4,2 làm tròn 4. B: 3,1 làm tròn 3. C: 1,5 làm tròn 2. D: 0,8 làm tròn 1. E: 0,4 làm tròn 0. Tổng 10. Khớp.

Biến thể Bắc Âu: số chia đầu 1,4

Sainte-Laguë thuần có một hệ quả mà một số nước không muốn: đảng rất nhỏ khá dễ có ghế đầu tiên, vì số chia đầu chỉ là 1. Na Uy và Thuỵ Điển vì vậy dùng bản sửa, thay số chia đầu tiên bằng 1,4 (dãy 1,4; 3; 5; 7…). Thuỵ Điển hạ số chia đầu xuống 1,2 từ cuộc bầu cử năm 2018.

Ví dụ: 100.000 phiếu chia cho sáu danh sách A 36.000, B 28.500, C 17.000, D 10.500, E 5.000, F 3.000, tranh 12 ghế.

Với bản thuần, thương số đầu của E là 5.000, đủ lọt vào 12 ô cao nhất. Với bản sửa, thương số đầu của E chỉ còn 5.000 : 1,4 ≈ 3.571, thua thương số 36.000 : 9 = 4.000 của A. Ghế cuối chuyển từ E sang A. Một con số 1,4 thay cho 1 làm ra khác biệt đó, và vì thế nó được bàn kỹ khi các nước sửa luật bầu cử.

Những nơi đang dùng Sainte-Laguë

• New Zealand: từ năm 1996, khi chuyển sang hệ hỗn hợp tỉ lệ, dùng Sainte-Laguë thuần để chia tổng số ghế cho các đảng.
• Đức: Quốc hội Liên bang chuyển sang Sainte-Laguë (ở Đức gọi là Sainte-Laguë/Schepers) từ năm 2008, sau giai đoạn dùng D'Hondt rồi Hare–Niemeyer.
• Na Uy, Thuỵ Điển: bản sửa với số chia đầu lớn hơn 1.
• Latvia và một số nghị viện bang ở Đức cũng dùng Sainte-Laguë.

Webster trong lịch sử Hạ viện Mỹ

Ở Mỹ, phép tính này chia ghế cho các bang theo dân số chứ không cho các đảng. Webster được dùng cho cuộc điều tra năm 1840, rồi quay lại năm 1911 khi Quốc hội bỏ phương pháp số dư lớn nhất vì nghịch lý Alabama. Phân bổ năm 1911 đặt cỡ Hạ viện 433 ghế, thêm 2 ghế cho Arizona và New Mexico khi hai bang này gia nhập, thành con số 435 quen thuộc.

Từ năm 1941, Mỹ chuyển sang phương pháp Huntington–Hill. Cuộc tranh luận kéo dài cả thập niên 1920 và 1930 giữa nhà thống kê Walter Willcox, người bênh Webster, và nhà toán học Edward Huntington, người bênh phương pháp mang tên mình. Một uỷ ban của Viện Hàn lâm Khoa học Quốc gia Mỹ năm 1929 nghiêng về Huntington–Hill. Nửa thế kỷ sau, Balinski và Young lại lập luận rằng Webster mới là lựa chọn tốt hơn. Tới nay cuộc tranh luận học thuật chưa ngã ngũ hẳn.

Điểm mạnh và giới hạn

Balinski và Young ước tính bằng mô phỏng trên số liệu dân số Mỹ rằng Webster vi phạm quy tắc phần đúng với tần suất cực thấp, chỉ khoảng một lần trong hàng nghìn lần phân bổ. Trong khi đó Jefferson (D'Hondt) với số liệu tương tự vi phạm rất thường xuyên, luôn theo chiều cho bang lớn quá nhiều. Đó là lý do nhiều nhà toán học coi Sainte-Laguë là điểm cân bằng tốt nhất giữa sát tỉ lệ và tránh nghịch lý.

Muốn tự kiểm, chỉ cần một bảng tính: cột A ghi phiếu, các cột kế tiếp ghi phiếu chia 1, 3, 5, 7…, rồi dùng hàm xếp hạng trên toàn bộ vùng thương số. Đọc thêm phần về phương pháp số chia trong Fair Representation của Balinski và Young, hoặc tài liệu của Uỷ ban Bầu cử New Zealand giải thích cách tính Sainte-Laguë cho cử tri.