Phương pháp Huntington–Hill là cách Mỹ chia 435 ghế Hạ viện cho 50 bang từ năm 1941 đến nay. Mỗi bang nhận trước 1 ghế, sau đó từng ghế còn lại được trao cho bang có "giá trị ưu tiên" lớn nhất, tính bằng dân số chia cho căn bậc hai của n × (n + 1), với n là số ghế bang đó đang có. Cách tính này tương đương với làm tròn theo trung bình nhân thay vì trung bình cộng, và hơi nghiêng về các bang nhỏ.
Hai người đặt tên cho phương pháp
Joseph Adna Hill là nhà thống kê của Cục Điều tra dân số Mỹ. Năm 1911, khi Quốc hội đang tìm cách thay phương pháp số dư lớn nhất vừa bị chê vì nghịch lý Alabama, ông đề xuất một cách làm tròn mới dựa trên trung bình nhân. Edward Vermilye Huntington, giáo sư toán Đại học Harvard, phân tích kỹ đề xuất này từ năm 1921 và chứng minh nó có một tính chất đẹp: nó làm cho chênh lệch tương đối về mức đại diện giữa hai bang bất kỳ là nhỏ nhất có thể.
Huntington gọi nó là "phương pháp tỉ lệ bằng nhau" (method of equal proportions). Một uỷ ban của Viện Hàn lâm Khoa học Quốc gia Mỹ năm 1929 khuyến nghị dùng phương pháp này. Năm 1941, Quốc hội luật hoá nó, áp cho kết quả điều tra dân số năm 1940, và từ đó đến nay chưa đổi.
Làm tròn theo trung bình nhân nghĩa là gì
Mọi phương pháp số chia đều làm như nhau: tìm một số chia chung, lấy dân số từng bang chia cho nó, rồi làm tròn. Chỗ khác nhau là ranh giới làm tròn giữa hai số nguyên liền nhau n và n + 1.
| Phương pháp | Ranh giới giữa n và n + 1 | Giữa 1 và 2 | Giữa 4 và 5 | Giữa 0 và 1 |
|---|---|---|---|---|
| Jefferson (D'Hondt) | n + 1 | 2 | 5 | 1 |
| Webster (Sainte-Laguë) | trung bình cộng, n + 0,5 | 1,5 | 4,5 | 0,5 |
| Huntington–Hill | trung bình nhân, √(n(n+1)) | ≈ 1,414 | ≈ 4,472 | 0 |
Hai điều đáng chú ý trong bảng. Thứ nhất, trung bình nhân luôn nhỏ hơn trung bình cộng, và chênh lệch lớn nhất ở các số nhỏ: giữa 1 và 2, ranh giới là 1,414 chứ không phải 1,5. Một bang có thương số 1,45 sẽ được làm tròn lên 2 với Huntington–Hill nhưng xuống 1 với Webster. Đó là lý do phương pháp này hơi có lợi cho bang nhỏ.
Thứ hai, ranh giới giữa 0 và 1 là căn của 0 × 1, tức là 0. Bất kỳ bang nào có dân số dương cũng tự động được ít nhất 1 ghế. Điều này khớp với quy định của Hiến pháp Mỹ rằng mỗi bang có ít nhất một đại biểu.
Giá trị ưu tiên: cách Cục Điều tra dân số tính thật
Thay vì dò số chia, Cục Điều tra dân số dùng một cách tương đương dễ máy móc hơn. Mỗi bang nhận 1 ghế, tổng cộng 50 ghế. Với 385 ghế còn lại, tính cho mỗi bang giá trị ưu tiên:
Giá trị ưu tiên = Dân số : √(n × (n + 1)), với n là số ghế bang đang có.
Ghế thứ 51 về bang có giá trị ưu tiên lớn nhất. Bang đó tăng n lên một, giá trị ưu tiên của nó giảm xuống. Tính lại, trao ghế thứ 52, và cứ thế đến ghế thứ 435. Sau mỗi lần điều tra dân số, Cục công bố cả danh sách giá trị ưu tiên, nên ai cũng biết bang nào giành ghế thứ 435 và bang nào chỉ suýt có ghế thứ 436.
Các hệ số √(n(n+1)) đầu tiên: 1,414 (n = 1), 2,449 (n = 2), 3,464 (n = 3), 4,472 (n = 4), 5,477 (n = 5).
Ví dụ tính tay: 10 ghế, bốn bang
Một quốc gia giả định có bốn bang, dân số (đơn vị nghìn người): A 6.380, B 3.980, C 3.350, D 2.370. Tổng 16.080, quốc hội 10 ghế. Phần đúng lần lượt là 3,97 – 2,48 – 2,08 – 1,47.
Bước 1: mỗi bang 1 ghế, còn 6 ghế. Bước 2: lập bảng giá trị ưu tiên.
| Bang | Cho ghế thứ 2 (: 1,414) | Ghế thứ 3 (: 2,449) | Ghế thứ 4 (: 3,464) | Ghế thứ 5 (: 4,472) |
|---|---|---|---|---|
| A (6.380) | 4.511 | 2.605 | 1.842 | 1.427 |
| B (3.980) | 2.814 | 1.625 | 1.149 | 890 |
| C (3.350) | 2.369 | 1.368 | 967 | 749 |
| D (2.370) | 1.676 | 968 | 684 | 530 |
Sáu giá trị lớn nhất theo thứ tự: 4.511 (A), 2.814 (B), 2.605 (A), 2.369 (C), 1.842 (A), 1.676 (D). Kết quả Huntington–Hill: A 4, B 2, C 2, D 2.
Giá trị kế tiếp, nếu có ghế thứ 11, là 1.625 của B. Như vậy cuộc đua ghế thứ 10 là giữa D (1.676) và B (1.625), và D thắng.
Làm lại bằng Webster (chia 0,5; 1,5; 2,5; 3,5) thì ghế thứ 10 lại thuộc B: thương số 3.980 : 2,5 = 1.592 của B nhỉnh hơn 2.370 : 1,5 = 1.580 của D. Webster cho 4 – 3 – 2 – 1. Hai phương pháp chỉ khác nhau ở đúng một ghế, và ghế đó đi về bang nhỏ hơn khi dùng trung bình nhân. Phần đúng của D là 1,47, vượt qua ranh giới 1,414 của Huntington–Hill nhưng chưa tới 1,5 của Webster.
Năm 1941: Arkansas hay Michigan
Lựa chọn giữa Webster và Huntington–Hill không chỉ là chuyện sách vở. Với số liệu điều tra năm 1940, hai phương pháp cho kết quả khác nhau ở đúng một ghế: Webster trao ghế đó cho Michigan, Huntington–Hill trao cho Arkansas. Đạo luật năm 1941 chọn Huntington–Hill, và Arkansas giữ ghế. Các tài liệu lịch sử thường ghi nhận rằng cân nhắc chính trị thời đó có vai trò trong việc chọn phương pháp, bên cạnh lập luận toán học của Huntington.
Năm 1992: Montana kiện lên Toà án Tối cao
Sau điều tra dân số năm 1990, Montana mất một trong hai ghế và chỉ còn 1 đại biểu cho cả bang, trở thành khu vực bầu cử đông dân nhất nước Mỹ lúc ấy. Bang này kiện, lập luận rằng Huntington–Hill vi phạm nguyên tắc dân số bằng nhau và đề nghị dùng một phương pháp khác cho phép Montana giữ hai ghế.
Năm 1992, Toà án Tối cao Mỹ nhất trí bác đơn trong vụ Bộ Thương mại kiện Montana. Toà nhận định rằng mỗi phương pháp tối ưu một thước đo khác nhau, không có cách nào làm mọi thước đo cùng tốt nhất, và Quốc hội có quyền chọn một phương pháp hợp lý. Đây là minh hoạ pháp lý cho điều các nhà toán học đã biết: không có phương pháp phân bổ hoàn hảo. Montana giành lại ghế thứ hai sau điều tra dân số năm 2020.
Mỗi phương pháp tối ưu một thứ
Huntington chỉ ra rằng có thể so hai bang theo nhiều cách, và mỗi cách dẫn tới một phương pháp:
- So số dân trên một ghế theo chênh lệch tuyệt đối: dẫn tới phương pháp Dean.
- So số ghế trên một người dân theo chênh lệch tuyệt đối: dẫn tới Webster.
- So bất kỳ thước đo nào trong hai cái trên theo chênh lệch tương đối (phần trăm): dẫn tới Huntington–Hill.
Huntington–Hill thắng ở thước đo tương đối. Nó nằm "ở giữa" năm phương pháp số chia cổ điển: Adams (làm tròn lên, lợi nhất cho bang nhỏ), Dean, Huntington–Hill, Webster, Jefferson (làm tròn xuống, lợi nhất cho bang lớn). Webster là cái gần trung lập nhất về cỡ, Huntington–Hill nghiêng nhẹ về phía bang nhỏ.
Đọc thêm và tự tính
Ai muốn kiểm kết quả phân bổ của Mỹ có thể tải bảng dân số từng bang của lần điều tra gần nhất, chia mỗi con số cho các hệ số 1,414; 2,449; 3,464… trong bảng tính, rồi xếp hạng toàn bộ vùng thương số. 385 thương số lớn nhất cộng với 50 ghế ban đầu sẽ khớp với kết quả chính thức. Cuốn Fair Representation của Michel Balinski và Peyton Young kể chi tiết cuộc tranh luận Willcox – Huntington những năm 1920 và lập luận vì sao hai ông nghiêng về Webster.
Câu hỏi thường gặp
Phương pháp Huntington–Hill là gì?
Là phương pháp chia ghế theo dân số dùng trung bình nhân làm ranh giới làm tròn. Mỗi nơi nhận 1 ghế trước, các ghế sau trao cho nơi có giá trị ưu tiên (dân số chia căn bậc hai của n(n+1)) lớn nhất.
Mỹ dùng phương pháp Huntington–Hill từ khi nào?
Từ đạo luật năm 1941, áp cho kết quả điều tra dân số năm 1940. Trước đó Mỹ lần lượt dùng phương pháp Jefferson, Webster và phương pháp số dư lớn nhất (Hamilton/Vinton).
Vì sao Huntington–Hill có lợi cho bang nhỏ?
Vì trung bình nhân của hai số nguyên liền nhau nhỏ hơn trung bình cộng, và chênh lệch rõ nhất ở số nhỏ. Bang có thương số 1,45 được làm tròn lên 2 thay vì xuống 1 như Webster.
Giá trị ưu tiên trong phân bổ ghế là gì?
Là con số Cục Điều tra dân số Mỹ dùng để xếp thứ tự trao ghế: dân số bang chia cho √(n(n+1)), với n là số ghế bang đang có. Bang có giá trị lớn nhất nhận ghế tiếp theo.
Vụ Montana năm 1992 kết thúc thế nào?
Toà án Tối cao Mỹ nhất trí giữ nguyên phương pháp Huntington–Hill, cho rằng Quốc hội có quyền chọn một phương pháp hợp lý vì không phương pháp nào tối ưu mọi thước đo cùng lúc.