Nghịch lý Alabama là gì: tăng thêm ghế mà một bang lại mất ghế

Nghịch lý Alabama là hiện tượng tăng tổng số ghế cần chia mà một nơi lại bị mất ghế, dù dân số không đổi chút nào. Nó được phát hiện năm 1880, khi bảng tính của Cục Điều tra dân số Mỹ cho thấy bang Alabama được 8 ghế nếu Hạ viện có 299 ghế, nhưng chỉ còn 7 nếu Hạ viện có 300 ghế. Thủ phạm là phương pháp số dư lớn nhất (phương pháp Hamilton), và nghịch lý này là một trong những lý do Mỹ bỏ phương pháp đó.

Câu chuyện năm 1880

Sau mỗi lần điều tra dân số, Quốc hội Mỹ phải chọn cỡ Hạ viện rồi chia ghế cho các bang. Thời ấy cỡ Hạ viện chưa cố định, mỗi thập niên lại tăng. Để Quốc hội dễ chọn, Charles W. Seaton, chánh văn phòng (chief clerk) của Cục Điều tra dân số, tính sẵn kết quả phân bổ theo phương pháp đang dùng cho mọi cỡ Hạ viện từ 275 đến 350 ghế.

Trong bảng tính ấy, Seaton nhận ra một điều kỳ lạ. Ở cỡ 299 ghế, Alabama được 8 ghế. Ở cỡ 300 ghế, Alabama chỉ được 7 ghế. Thêm một ghế cho cả nước, một bang mất một ghế. Ông viết thư báo cho Quốc hội. Từ đó, hiện tượng này mang tên bang Alabama.

Theo các tường thuật lịch sử, ghế thứ 300 không chỉ đến tay một bang: Texas và Illinois cùng có thêm ghế, phần đúng của Alabama tăng rất ít nên phần dư của nó bị hai bang lớn hơn vượt qua, và Alabama bị đẩy khỏi nhóm nhận ghế theo phần dư.

Ví dụ tính tay: ba bang, 10 ghế lên 11 ghế

Ví dụ kinh điển trong sách toán ứng dụng dùng ba bang. Bang A và B mỗi bang 6.000 dân, bang C 2.000 dân, tổng 14.000.

Trường hợp 10 ghế. Số chia chuẩn = 14.000 : 10 = 1.400 dân một ghế.

Phần nguyên cộng lại 9, thừa 1 ghế. Phần dư lớn nhất là của C (0,429), C nhận ghế đó. Kết quả 4 – 4 – 2.

Trường hợp 11 ghế. Số chia chuẩn = 14.000 : 11 ≈ 1.272,7.

Phần nguyên vẫn cộng 9, nay thừa 2 ghế. Hai phần dư lớn nhất là của A và B (0,714). Kết quả 5 – 5 – 1. Tăng từ 10 lên 11 ghế, bang C rơi từ 2 xuống 1.

Vì sao nó xảy ra

Khi tổng số ghế tăng thêm 1, phần đúng của mỗi bang tăng thêm đúng bằng tỉ lệ dân số của bang đó. Trong ví dụ trên, A và B mỗi bang chiếm 6/14 ≈ 42,9% dân số nên phần đúng tăng 0,429. C chỉ chiếm 2/14 ≈ 14,3% nên phần đúng tăng 0,143.

Phương pháp Hamilton trao ghế thừa dựa trên phần dư, tức phần sau dấu phẩy. Bang lớn có phần dư "chạy" nhanh hơn bang nhỏ khi tổng ghế tăng. Phần dư của C tăng từ 0,429 lên 0,571, nhưng phần dư của A và B nhảy từ 0,286 lên 0,714 và vượt qua C. Trong khi đó số ghế thừa chỉ tăng từ 1 lên 2, không đủ cho cả ba bang. Bang nhỏ bị bỏ lại.

Nói gọn: nghịch lý Alabama xảy ra khi phần dư của bang lớn vượt qua phần dư của bang nhỏ nhanh hơn số ghế thừa tăng lên. Không cần dân số thay đổi, chỉ cần đổi tổng số ghế.

Năm 1900: Colorado và Maine

Bài học năm 1880 chưa đủ để Quốc hội đổi phương pháp. Sau điều tra năm 1900, Cục Điều tra dân số lại lập bảng cho các cỡ Hạ viện từ 350 đến 400 ghế. Theo các tường thuật được Balinski và Young dẫn lại, Colorado được 3 ghế ở hầu hết các cỡ trong khoảng đó, nhưng chỉ được 2 ghế ở cỡ 357, đúng cỡ mà một dự luật trong Quốc hội từng đề xuất. Số ghế của Maine thì lên xuống qua lại khi cỡ Hạ viện thay đổi.

Cuộc tranh luận năm 1901 kéo dài và gay gắt, vì mỗi cỡ Hạ viện đề xuất đều có bang được, bang mất. Cuối cùng Quốc hội chọn cỡ 386 ghế, ở đó không bang nào bị thiệt rõ ràng. Năm 1911, Mỹ bỏ phương pháp số dư lớn nhất và chuyển sang phương pháp Webster.

Phương pháp nào tránh được nghịch lý Alabama

Mọi phương pháp số chia đều miễn nhiễm với nghịch lý Alabama. Đó là các phương pháp tìm một số chia chung rồi làm tròn theo một quy tắc cố định: Jefferson (D'Hondt), Webster (Sainte-Laguë), Huntington–Hill, Adams, Dean.

Lý do dễ thấy khi nhìn chúng như một hàng đợi: ghế thứ 1, thứ 2, thứ 3… lần lượt trao cho nơi có thương số lớn nhất ở thời điểm đó. Thêm một ghế chỉ có nghĩa là trao thêm một lượt cho người đứng đầu hàng đợi tiếp theo. Không ai bị lấy lại ghế đã có. Các nhà toán học gọi tính chất này là "đơn điệu theo cỡ quốc hội" (house monotone).

Dòng cuối là một câu trả lời thông minh: năm 1975, Michel Balinski và Peyton Young dựng một phương pháp vừa trao ghế theo hàng đợi (nên không có nghịch lý Alabama), vừa không bao giờ cho ai vượt quá phần đúng làm tròn lên. Nhưng phương pháp đó lại vướng một nghịch lý khác, nghịch lý dân số. Năm 1982, chính hai ông chứng minh rằng không có phương pháp nào thoát được cả nghịch lý dân số lẫn vi phạm quy tắc phần đúng.

Nghịch lý Alabama ngoài quốc hội

Ở đâu có việc chia một số nguyên theo tỉ lệ bằng phần dư lớn nhất, ở đó có thể gặp nghịch lý Alabama.

• Chia suất học bổng theo số học sinh: quỹ tăng từ 11 lên 12 suất, một trường nhỏ có thể mất suất. Ai từng phải giải thích chuyện này với hiệu trưởng trường nhỏ sẽ hiểu vì sao nên chọn phương pháp số chia khi số suất thay đổi qua từng năm.
• Chia ca trực, chia giờ dạy: tăng tổng số ca, một nhóm ít người có thể bị giảm ca.
• Chia ghế trong hội đồng, ban chấp hành của hội, đoàn thể: khi điều lệ tăng số thành viên, chi hội nhỏ có thể bị bớt người.

Cách phòng ngừa thực tế: trước khi chốt, tính thử với tổng số suất trừ một và cộng một. Nếu có nơi được ít hơn khi tổng tăng, hãy cân nhắc chuyển sang Sainte-Laguë, cũng dễ tính bằng bảng tính mà không bao giờ gặp nghịch lý này.

Bài học đáng mang về

Nghịch lý Alabama cho thấy một phép tính đúng từng bước vẫn có thể cho kết quả trái trực giác. Nó cũng cho thấy giá trị của việc thử nhiều cỡ: chính bảng tính "dư thừa" của Seaton, cho 76 cỡ Hạ viện khác nhau, mới làm lộ ra vấn đề. Nếu chỉ tính đúng một cỡ, không ai nhận ra. Muốn đọc kỹ hơn, sách Fair Representation của Balinski và Young có cả chương về lịch sử Hạ viện Mỹ cuối thế kỷ 19, còn các giáo trình toán đại cương dạng "toán trong đời sống" thường có bài tập về nghịch lý này để tự tính.