Phương pháp Hamilton: chia ghế theo số dư lớn nhất, cách tính tay

Phương pháp Hamilton chia ghế theo hai bước: tính "phần đúng" của từng nơi bằng dân số nhân số ghế chia tổng dân số, cấp cho mỗi nơi phần nguyên của con số đó, rồi trao các ghế còn thừa cho những nơi có phần thập phân lớn nhất. Vì thế nó còn được gọi là phương pháp số dư lớn nhất, hay Hare–Niemeyer ở Đức. Cách làm dễ hiểu đến mức học sinh lớp 6 tính được, nhưng nó mang theo vài nghịch lý khiến nước Mỹ cuối cùng phải bỏ.

Bài toán gốc: chia số nguyên theo tỉ lệ

Mọi bài toán phân bổ ghế đều có cùng một khung. Có một số ghế cố định, gọi là h. Có nhiều nơi nhận, mỗi nơi có một con số đo "sức nặng" của mình: dân số của bang, số phiếu của đảng, số học sinh của trường. Ta muốn chia ghế đúng theo tỉ lệ sức nặng đó.

Nếu ghế cắt nhỏ được thì chẳng có gì để bàn. Một bang chiếm 42,1% dân số sẽ nhận 42,1% số ghế. Khó khăn nằm ở chỗ ghế là số nguyên. Không ai ngồi được 0,7 ghế. Phải làm tròn, và cách làm tròn sao cho tổng vẫn đúng bằng h chính là toàn bộ câu chuyện.

Làm tròn thông thường (0,5 trở lên thì lên) không giải quyết được. Ba bang cùng có phần đúng 3,5 ghế trên tổng 10,5 thì không sao, nhưng ba bang có phần đúng 3,33 ghế trên tổng 10 ghế sẽ được làm tròn thành 3 + 3 + 3 = 9, thiếu một ghế. Ngược lại có lúc thừa. Phương pháp Hamilton là lời đáp đơn giản nhất cho chuyện thiếu thừa này.

Ba bước của phương pháp Hamilton

1. Tính số chia chuẩn: lấy tổng dân số chia cho số ghế. Đây là số dân "đổi được" một ghế.
2. Tính phần đúng (quota) của từng nơi: dân số của nơi đó chia cho số chia chuẩn. Phần đúng thường là số thập phân.
3. Cấp phần nguyên, chia phần dư: mỗi nơi nhận ngay phần nguyên của phần đúng. Cộng lại sẽ thiếu vài ghế. Xếp các nơi theo phần thập phân từ lớn đến nhỏ, trao mỗi nơi một ghế cho đến khi hết.

Không có bước nào cần máy tính. Chỉ cần phép chia và một lần sắp xếp. Đó là lý do phương pháp này hay xuất hiện trong sách giáo khoa toán ứng dụng.

Ví dụ tính tay: 25 ghế cho bốn bang

Giả sử một quốc gia tưởng tượng có bốn bang A, B, C, D với tổng dân số 6 triệu người, và quốc hội có 25 ghế. Số chia chuẩn là 6.000.000 : 25 = 240.000 người cho một ghế.

Phần nguyên cộng lại được 23, còn thiếu 2 ghế. Xếp phần dư: D (0,708), B (0,625), A (0,458), C (0,208). Hai ghế thừa về D và B. Kết quả 10 – 8 – 4 – 3.

Để ý một tính chất quan trọng: mỗi bang nhận hoặc phần nguyên, hoặc phần nguyên cộng một. Không bang nào bị lệch quá một ghế so với phần đúng của mình. Các nhà toán học gọi đó là quy tắc phần đúng (quota rule). Phương pháp Hamilton luôn thoả quy tắc này, và đó là điểm mạnh lớn nhất của nó.

Để so sánh, nếu dùng phương pháp D'Hondt (cũng chính là phương pháp Jefferson) cho cùng số liệu, kết quả là 11 – 8 – 4 – 2. Bang lớn nhất A được thêm một ghế, bang nhỏ nhất D mất một. Cùng một bộ số, hai quy tắc làm tròn cho hai quốc hội khác nhau.

Alexander Hamilton và cuộc phủ quyết đầu tiên của nước Mỹ

Hiến pháp Mỹ năm 1787 quy định ghế Hạ viện chia cho các bang theo dân số, và số đại biểu không được vượt quá một người trên 30.000 dân. Hiến pháp không nói chia bằng cách nào. Sau cuộc điều tra dân số đầu tiên năm 1790, câu hỏi kỹ thuật này bỗng thành chuyện lớn.

Alexander Hamilton, khi ấy là Bộ trưởng Ngân khố, ủng hộ cách chia số dư lớn nhất. Quốc hội thông qua một dự luật năm 1792 chia 120 ghế theo tinh thần đó. Tổng thống George Washington đã phủ quyết dự luật ngày 5/4/1792. Đây là lần đầu tiên một tổng thống Mỹ dùng quyền phủ quyết. Trong thông điệp gửi Quốc hội, ông nêu hai lý do: dự luật không áp một tỉ số chung cho mọi bang, và có bang nhận số ghế vượt mức một ghế trên 30.000 dân.

Quốc hội quay sang phương án của Thomas Jefferson, Bộ trưởng Ngoại giao: chọn một số chia chung (33.000 người), lấy dân số mỗi bang chia cho nó và bỏ phần lẻ. Hạ viện năm ấy có 105 ghế. Phương pháp Jefferson được dùng tới cuộc điều tra năm 1830.

Phương pháp số dư lớn nhất quay lại năm 1850 dưới tên dân biểu Samuel Vinton của bang Ohio, người đề xuất đạo luật phân bổ năm ấy. Trên danh nghĩa, nó là phương pháp chính thức của Mỹ từ 1850 đến 1900, dù Quốc hội nhiều lần chọn cỡ Hạ viện sao cho kết quả trùng với phương pháp khác để tránh tranh cãi.

Cùng một phép tính, nhiều cái tên

Phương pháp Hamilton không phải phát minh riêng của Mỹ. Ở châu Âu, khi các nước chuyển sang bầu cử theo tỉ lệ cuối thế kỷ 19, phép tính này quay lại dưới tên khác.

• Phương pháp số dư lớn nhất với hạn ngạch Hare: Thomas Hare, luật sư người Anh, đề xuất năm 1859 lấy tổng phiếu chia cho số ghế làm "giá" của một ghế. Đó chính là số chia chuẩn của Hamilton.
• Hare–Niemeyer: tên thường dùng ở Đức, gắn với nhà toán học Horst Niemeyer. Quốc hội Liên bang Đức dùng cách này để chia ghế cho các đảng trong các cuộc bầu cử từ 1987 đến 2005, trước khi chuyển sang Sainte-Laguë.
• Phương pháp Vinton: tên gọi trong lịch sử Mỹ thế kỷ 19.

Có một biến thể dùng hạn ngạch Droop (tổng phiếu chia cho số ghế cộng một, rồi cộng thêm một) thay vì hạn ngạch Hare. Hạn ngạch nhỏ hơn nên phần nguyên lớn hơn, ít ghế phải chia theo phần dư hơn, và kết quả hơi nghiêng về đảng lớn.

Điểm yếu: ba nghịch lý

Nếu phương pháp Hamilton tốt như vậy, tại sao Mỹ bỏ? Vì người ta phát hiện nó có thể cho những kết quả nghe vô lý dù phép tính hoàn toàn đúng.

Nghịch lý Alabama

Tăng tổng số ghế lên một, có bang lại mất ghế. Năm 1880, viên chức Cục Điều tra dân số C. W. Seaton tính thử cho mọi cỡ Hạ viện từ 275 đến 350 ghế và thấy Alabama được 8 ghế khi Hạ viện có 299 ghế, nhưng chỉ còn 7 khi Hạ viện có 300 ghế. Lý do: khi thêm một ghế, phần đúng của mọi bang đều tăng, nhưng bang lớn tăng nhiều hơn, nên phần dư của bang lớn có thể vượt qua phần dư của bang nhỏ.

Nghịch lý dân số

Bang A tăng dân nhanh hơn bang B, vậy mà A mất ghế cho B. Hiện tượng này xảy ra thật sau điều tra năm 1900, giữa Virginia và Maine.

Nghịch lý bang mới

Thêm một bang mới cùng đúng số ghế công bằng của nó, các bang cũ lại đổi chỗ ghế cho nhau. Khi Oklahoma gia nhập năm 1907 kèm 5 ghế mới, tính lại bằng phương pháp Hamilton thì New York mất một ghế cho Maine.

Cả ba nghịch lý cùng một gốc: phương pháp Hamilton so sánh phần dư tuyệt đối, mà phần dư thay đổi không đều khi bất kỳ con số nào thay đổi. Năm 1982, hai nhà toán học Michel Balinski và Peyton Young chứng minh rằng không có cách nào vừa giữ đúng quy tắc phần đúng như Hamilton, vừa tránh được nghịch lý dân số. Phải chọn một trong hai.

Hamilton ngày nay dùng ở đâu

Dù bị Mỹ bỏ sau năm 1900, phép tính số dư lớn nhất vẫn sống khoẻ ở nhiều chỗ.

• Bầu cử theo danh sách: nhiều nước và địa phương vẫn dùng số dư lớn nhất với hạn ngạch Hare hoặc Droop để chia ghế cho các đảng.
• Làm tròn phần trăm cho đủ 100: một khảo sát cho kết quả 41,6%, 33,7%, 24,7%. Làm tròn thường ra 42 + 34 + 25 = 101%. Cách Hamilton: lấy phần nguyên 41 + 33 + 24 = 98, hai điểm còn lại cho hai phần dư lớn nhất (0,7 và 0,7), được 41 + 34 + 25 = 100. Nhiều phần mềm bảng tính và thư viện vẽ biểu đồ dùng đúng cách này khi cần tổng tròn trăm.
• Chia suất, chia chỉ tiêu: chia học bổng theo số học sinh, chia ca trực theo số nhân viên, chia ngân sách thành các gói nguyên. Phương pháp dễ giải thích với người không học toán, và không ai lệch quá một suất so với phần đúng.

Khi nào nên chọn Hamilton, khi nào không

Muốn tự áp dụng, có thể dựa vào bảng tóm tắt sau.

Một mẹo thực tế: nếu dùng Hamilton cho việc lặp lại hằng năm, hãy tính thêm bằng phương pháp Sainte-Laguë (Webster). Hai cách thường cho cùng kết quả. Khi chúng khác nhau, đó là dấu hiệu nên xem kỹ trước khi công bố. Muốn đọc sâu hơn, cuốn Fair Representation của Balinski và Young (1982) vẫn là tài liệu kinh điển về toán học phân bổ ghế, kể kèm cả lịch sử tranh luận ở Quốc hội Mỹ.