Định lý Balinski–Young: vì sao không có cách chia ghế hoàn hảo

Định lý Balinski–Young (1982) nói rằng không có phương pháp chia ghế nào vừa luôn giữ mỗi nơi trong phạm vi phần đúng làm tròn xuống hoặc lên, vừa tránh được nghịch lý dân số. Muốn tránh nghịch lý thì phải chấp nhận có lúc một nơi nhận lệch quá một ghế so với tỉ lệ, và ngược lại. Đây là lý do mọi cuộc tranh luận về "cách chia ghế đúng nhất" rốt cuộc là chọn khuyết điểm nào dễ chấp nhận hơn.

Hai đòi hỏi nghe rất hợp lý

Michel Balinski (nhà toán học người Mỹ gốc Pháp) và H. Peyton Young (nhà kinh tế học) làm việc cùng nhau về bài toán phân bổ ghế suốt thập niên 1970. Họ liệt kê những gì một phương pháp "tốt" nên có, rồi hỏi: có phương pháp nào đạt hết không?

Hai đòi hỏi trung tâm:

• Quy tắc phần đúng: phần đúng của một nơi là số ghế nó "đáng được" nếu ghế cắt nhỏ được, tức dân số nhân tổng ghế chia tổng dân số. Nơi có phần đúng 4,6 thì phải nhận 4 hoặc 5 ghế, không được 3, không được 6.
• Không có nghịch lý dân số: nếu dân số bang A tăng nhanh hơn (theo phần trăm) dân số bang B, thì A không được mất ghế vào tay B khi tổng ghế giữ nguyên.

Cả hai đều khó cãi. Vậy mà định lý chứng minh rằng với bốn nơi trở lên và số ghế đủ lớn, không phương pháp nào thoả cả hai trong mọi trường hợp.

Nghịch lý dân số: tăng nhanh hơn vẫn mất ghế

Hiện tượng này từng xảy ra thật. Khi tính lại theo dân số giữa các kỳ điều tra quanh năm 1900, Virginia tăng dân nhanh hơn Maine về tỉ lệ phần trăm, nhưng phương pháp số dư lớn nhất mà Mỹ đang dùng lại lấy một ghế của Virginia trao cho Maine.

Ví dụ tính tay, 10 ghế, ba bang (dân số đơn vị nghìn người):

Kỳ 1: phần nguyên 1 + 4 + 4 = 9, còn 1 ghế, phần dư lớn nhất là của A (0,471), A được 2 ghế. Kỳ 2: phần nguyên 1 + 4 + 3 = 8, còn 2 ghế. Phần dư xếp hạng: C 0,981, B 0,512, A 0,506. Hai ghế về C và B. A rơi từ 2 xuống 1 dù tăng 5%, nhanh hơn B (4%) và C (0%), trong khi B được thêm một ghế.

Chuyện xảy ra vì C đứng yên nên phần đúng của C tụt xuống dưới 4, đẩy C vào cuộc đua phần dư với phần dư rất cao. A và B cùng tranh một ghế còn lại, và B nhỉnh hơn A 0,006. Không có gì sai trong phép tính. Chỉ là phương pháp so phần dư tuyệt đối, mà phần dư thì nhảy lung tung khi mọi con số cùng đổi.

Nghịch lý bang mới: Oklahoma năm 1907

Một biến thể nổi tiếng khác. Khi Oklahoma gia nhập Liên bang năm 1907, Quốc hội tăng Hạ viện thêm 5 ghế, đúng bằng phần của Oklahoma theo dân số. Ai cũng nghĩ các bang cũ giữ nguyên ghế. Nhưng tính lại bằng phương pháp số dư lớn nhất thì New York mất một ghế, Maine được thêm một ghế.

Ví dụ tính tay: ba bang cũ có dân số 7.440, 3.030 và 8.970 (nghìn người), tổng 19.440, chia 10 ghế. Bang mới D có 4.450, theo đúng tỉ lệ cũ đáng được khoảng 2,29 ghế, nên tổng ghế tăng thêm 2 thành 12.

D nhận đúng 2 ghế như dự tính. Nhưng C mất một ghế cho B. Bang mới chẳng lấy gì của C, chỉ là sự có mặt của nó làm tổng dân số thay đổi, phần dư của các bang cũ xếp lại, và thứ tự đổi.

Phương pháp số chia tránh nghịch lý, nhưng trả giá

Các phương pháp số chia (D'Hondt/Jefferson, Sainte-Laguë/Webster, Huntington–Hill) không bao giờ gặp nghịch lý dân số hay nghịch lý bang mới. Lý do: chúng xếp hạng các nơi theo thương số dân số chia một hệ số chỉ phụ thuộc số ghế đã có. Nếu A tăng dân nhanh hơn B, thương số của A tăng nhanh hơn của B, A chỉ có thể leo lên chứ không tụt xuống so với B.

Cái giá là quy tắc phần đúng. Ví dụ với D'Hondt: năm danh sách nhận 46.000, 30.000, 14.000, 6.000 và 4.000 phiếu, chia 10 ghế.

Phần đúng của A là 4,6, làm tròn lên cũng chỉ 5, nhưng D'Hondt cho 6. Đây là vi phạm quy tắc phần đúng. Trong lịch sử Mỹ, phương pháp Jefferson từng cho New York 40 ghế năm 1832 trong khi phần đúng chỉ khoảng 38,6.

Nội dung chính xác của định lý

Trong cuốn Fair Representation (Yale University Press, 1982), Balinski và Young chứng minh một loạt kết quả. Những ý chính:

1. Một phương pháp tránh được nghịch lý dân số (theo nghĩa chặt mà họ định nghĩa) thì về bản chất phải là một phương pháp số chia.
2. Không phương pháp số chia nào luôn thoả quy tắc phần đúng khi có từ bốn nơi trở lên và số ghế không quá nhỏ.
3. Vì vậy, không phương pháp nào vừa luôn thoả quy tắc phần đúng vừa không bao giờ gặp nghịch lý dân số.

Họ cũng chỉ ra trong các phương pháp số chia, Webster (Sainte-Laguë) là phương pháp duy nhất không thiên lệch theo cỡ, và với số liệu dân số kiểu nước Mỹ, xác suất nó vi phạm quy tắc phần đúng là rất nhỏ. Kết luận thực tế của hai ông: nên chọn Webster.

Giống định lý Arrow ở chỗ nào

Người học kinh tế sẽ thấy quen. Năm 1951, Kenneth Arrow chứng minh không có cách gộp thứ tự ưu tiên của nhiều người thành thứ tự chung mà thoả cùng lúc một số điều kiện tưởng như hiển nhiên. Định lý Balinski–Young cùng tinh thần: một danh sách đòi hỏi, mỗi cái nghe hợp lý, ghép lại thì không thể đạt hết. Kết quả kiểu "bất khả" này không có nghĩa là bỏ cuộc. Nó có nghĩa là phải nói rõ mình hi sinh tính chất nào và vì sao.

Bảng chọn lựa

Khi phải thiết kế một quy chế chia suất, chia ghế trong tổ chức của mình, có thể đi theo bảng này: nếu số liệu và tổng suất thay đổi qua từng kỳ, chọn một phương pháp số chia, ưu tiên Sainte-Laguë; nếu chỉ chia một lần và điều quan trọng nhất là không ai lệch quá một suất, Hamilton dễ giải thích hơn. Dù chọn gì, ghi rõ phương pháp vào quy chế trước khi biết số liệu, để không ai nghĩ phương pháp được chọn sau khi đã xem ai được lợi.