Chia suất học bổng, chỉ tiêu hay giờ dạy theo số học sinh là đúng bài toán chia ghế quốc hội ở quy mô nhỏ: phải chia một số nguyên theo tỉ lệ, và phần lẻ quyết định ai được thêm một suất. Cách làm gọn nhất là chọn trước một phương pháp đã được kiểm nghiệm (số dư lớn nhất hoặc Sainte-Laguë), ghi vào quy chế, rồi công bố bảng tính. Bài này dùng ví dụ bốn trường chia 16 suất để thấy mỗi lựa chọn dẫn đến kết quả ra sao.
Bài toán: 16 suất cho bốn trường
Một quỹ khuyến học có 16 suất học bổng, chia cho bốn trường theo số học sinh: trường A 1.840 em, B 1.260, C 610, D 290, tổng 4.000. Mỗi suất ứng với 4.000 : 16 = 250 học sinh. Phần đúng của mỗi trường:
- A: 1.840 : 250 = 7,36
- B: 1.260 : 250 = 5,04
- C: 610 : 250 = 2,44
- D: 290 : 250 = 1,16
Phần nguyên cộng lại 7 + 5 + 2 + 1 = 15. Còn đúng 1 suất phải quyết định. Đây là chỗ các phương pháp tách nhau.
Bốn phương pháp, hai kết quả
| Trường | Phần đúng | Số dư lớn nhất (Hamilton) | D'Hondt | Sainte-Laguë | Huntington–Hill |
|---|---|---|---|---|---|
| A (1.840) | 7,36 | 7 | 8 | 8 | 7 |
| B (1.260) | 5,04 | 5 | 5 | 5 | 5 |
| C (610) | 2,44 | 3 | 2 | 2 | 3 |
| D (290) | 1,16 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Số dư lớn nhất: phần dư 0,36 – 0,04 – 0,44 – 0,16. Suất thứ 16 về C (0,44).
D'Hondt nghiêng về bên lớn như thường lệ, trao suất cuối cho A.
Sainte-Laguë cũng trao cho A, nhưng sát nút đến mức đáng kể lại. Lập bảng chia số học sinh cho 1, 3, 5, 7…: suất thứ 8 của A có thương số 1.840 : 15 ≈ 122,7, suất thứ 3 của C có thương số 610 : 5 = 122. Chênh lệch chưa tới 1. Chỉ cần trường C có thêm 4 học sinh (614 : 5 = 122,8), suất này đổi chủ.
Huntington–Hill nghiêng nhẹ về bên nhỏ, trao cho C.
Một suất, bốn phương pháp, chia đôi. Không cách nào "sai". Đó chính là lý do phải chốt phương pháp trước khi xem số liệu: nếu chọn sau, người ta dễ nghi chọn theo kết quả.
Bẫy Alabama khi quỹ tăng suất
Phương pháp số dư lớn nhất dễ giải thích, nhưng nếu tổng số suất thay đổi qua từng năm thì có một bẫy. Ví dụ bốn trường có 1.400, 1.150, 830 và 480 học sinh (tổng 3.860).
| Trường | Phần đúng (11 suất) | Số suất | Phần đúng (12 suất) | Số suất |
|---|---|---|---|---|
| A (1.400) | 3,990 | 4 | 4,352 | 4 |
| B (1.150) | 3,277 | 3 | 3,575 | 4 |
| C (830) | 2,365 | 2 | 2,580 | 3 |
| D (480) | 1,368 | 2 | 1,492 | 1 |
Với 11 suất: phần nguyên 3 + 3 + 2 + 1 = 9, hai suất thừa về A (dư 0,990) và D (dư 0,368). Năm sau quỹ tăng lên 12 suất: phần nguyên 4 + 3 + 2 + 1 = 10, hai suất thừa về C (0,580) và B (0,575). Trường D, số học sinh không đổi, rơi từ 2 xuống 1 suất trong năm quỹ được bổ sung. Đây là nghịch lý Alabama, phát hiện ở Hạ viện Mỹ năm 1880.
Các phương pháp số chia (D'Hondt, Sainte-Laguë, Huntington–Hill) không bao giờ gặp tình huống này, vì chúng trao suất theo thứ tự hàng đợi: thêm suất chỉ là trao thêm một lượt.
Sàn tối thiểu và trọng số nhiều tiêu chí
Mỗi trường ít nhất một suất
Nhiều quỹ muốn trường nhỏ nào cũng có học bổng. Hai cách phổ biến:
- Cơ sở cộng tỉ lệ: mỗi trường nhận trước một số suất cố định, phần còn lại chia theo tỉ lệ. Với ví dụ đầu bài, mỗi trường 1 suất, 12 suất còn lại chia theo số dư lớn nhất (phần đúng 5,52 – 3,78 – 1,83 – 0,87) ra 5 – 4 – 2 – 1. Tổng cộng: A 6, B 5, C 3, D 2. Trường nhỏ D được gấp đôi so với chia thẳng, A mất một suất. Đây cũng là ý tưởng Nghị viện châu Âu và Thoả hiệp Cambridge áp dụng cho các nước thành viên.
- Huntington–Hill: ranh giới làm tròn giữa 0 và 1 là 0, nên mọi trường có học sinh đều tự động có ít nhất 1 suất mà không cần quy định riêng.
Kết hợp số học sinh với hoàn cảnh
Nếu quỹ muốn tính cả số học sinh có hoàn cảnh khó khăn, hãy tính trọng số trước, rồi mới phân bổ. Ví dụ quy chế ghi: 70% theo tổng số học sinh, 30% theo số học sinh thuộc diện khó khăn. Bốn trường có số em thuộc diện này lần lượt 120, 150, 90 và 40 (tổng 400).
| Trường | Tỉ lệ học sinh | Tỉ lệ diện khó khăn | Trọng số (0,7 và 0,3) | Phần đúng (16 suất) | Số suất |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 46,0% | 30,0% | 41,2% | 6,59 | 7 |
| B | 31,5% | 37,5% | 33,3% | 5,33 | 5 |
| C | 15,25% | 22,5% | 17,4% | 2,79 | 3 |
| D | 7,25% | 10,0% | 8,1% | 1,29 | 1 |
Với trọng số này, cả số dư lớn nhất, D'Hondt lẫn Sainte-Laguë đều ra 7 – 5 – 3 – 1. Không còn suất "sát nút" nào. Một lưu ý: đừng cộng hai lần phân bổ riêng (chia 70% suất theo học sinh, chia 30% suất theo diện khó khăn rồi cộng lại), vì mỗi lần làm tròn đều có sai số và tổng sai số có thể đẩy một trường lệch quá một suất.
Chia giờ dạy, ca trực, liều vắc xin
Cùng một khung toán áp dụng cho nhiều việc hằng ngày ở trường và cơ quan:
- Giờ phụ đạo: một tổ bộ môn có 30 tiết phụ đạo mỗi tháng, chia cho bốn lớp theo số em cần hỗ trợ là 34, 27, 19 và 12. Phần đúng 11,09 – 8,80 – 6,20 – 3,91, mọi phương pháp đều cho 11 – 9 – 6 – 4. Khi các phương pháp trùng nhau như thế, chọn cách nào cũng được, cứ dùng cách dễ giải thích nhất.
- Ca trực: chia số ca trực trong tháng cho các khoa theo số nhân viên. Nếu số ca thay đổi theo tháng, dùng phương pháp số chia để tránh nghịch lý Alabama.
- Hàng hoá, vật tư theo điểm nhận: chia một lô hàng nguyên kiện theo dân số hay nhu cầu từng điểm. Kiện không chia nhỏ được, đúng y bài toán ghế.
- Làm tròn phần trăm trong báo cáo: khi các con số phải cộng đúng 100%, dùng số dư lớn nhất cho 100 "điểm".
Mẫu quy chế phân bổ gọn và rõ
Một quy chế phân bổ đủ dùng chỉ cần trả lời sáu câu, và ai cũng tự kiểm lại được bằng bảng tính:
- Căn cứ: số học sinh (hay số người) lấy theo danh sách nào, chốt ngày nào.
- Tiêu chí và trọng số: một tiêu chí hay nhiều, mỗi tiêu chí bao nhiêu phần trăm.
- Sàn, trần: mỗi đơn vị ít nhất, nhiều nhất bao nhiêu suất.
- Phương pháp: ghi rõ tên (số dư lớn nhất, Sainte-Laguë…) và cách tính trong một câu.
- Xử lý hoà: khi hai đơn vị bằng nhau cho suất cuối, ưu tiên theo tiêu chí nào, hay bốc thăm công khai.
- Công bố: đăng bảng tính đầy đủ, gồm phần đúng và phần dư hoặc thương số, không chỉ đăng kết quả.
Lời khuyên cuối từ lịch sử chia ghế: hãy thử tính với tổng suất trừ một và cộng một, và với số liệu xê dịch nhẹ. Nếu kết quả nhảy bất thường, tốt hơn là phát hiện trước khi công bố. Muốn tìm hiểu nền tảng, cuốn Fair Representation của Balinski và Young, hoặc phần "apportionment" trong các giáo trình toán ứng dụng đại cương, có đủ ví dụ để luyện tay.
Câu hỏi thường gặp
Chia suất học bổng theo số học sinh thế nào cho công bằng?
Tính phần đúng của mỗi trường bằng số học sinh nhân tổng suất chia tổng học sinh, cấp phần nguyên, rồi chia các suất còn lại theo một phương pháp đã ghi trước trong quy chế, như số dư lớn nhất hoặc Sainte-Laguë.
Vì sao phải ghi phương pháp chia vào quy chế trước?
Vì các phương pháp khác nhau có thể trao suất cuối cho trường khác nhau. Chọn phương pháp sau khi đã thấy số liệu dễ bị nghi là chọn theo kết quả.
Tăng tổng số suất có làm trường nào mất suất không?
Có thể, nếu dùng phương pháp số dư lớn nhất. Hiện tượng này gọi là nghịch lý Alabama. Các phương pháp số chia như Sainte-Laguë hay D'Hondt không bao giờ gặp.
Làm sao để trường nhỏ nào cũng có ít nhất một suất?
Có thể cấp trước mỗi trường một số suất cố định rồi chia phần còn lại theo tỉ lệ, hoặc dùng phương pháp Huntington–Hill vốn tự động trao ít nhất một suất cho mọi đơn vị có người.
Có nên chia riêng theo từng tiêu chí rồi cộng lại không?
Không nên. Mỗi lần chia đều phải làm tròn, cộng hai lần làm tròn có thể làm một trường lệch quá một suất. Nên tính trọng số tổng hợp trước rồi phân bổ một lần.