Chia khu vực bầu cử theo dân số là vẽ ranh giới sao cho mỗi khu vực bầu một số đại biểu như nhau có số dân gần bằng nhau. Nhưng bằng dân số chưa đủ: cùng một bản đồ cử tri, có thể vẽ ranh giới để cùng 60% phiếu ra 5 ghế trên 5, hoặc chỉ 2 ghế trên 5. Toán học có ba nhóm công cụ để phát hiện ranh giới méo: đo độ lệch dân số, đo hình dạng khu vực, và đo phiếu "lãng phí".
Từ "thị trấn mục" đến con kỳ nhông
Trước năm 1832, ở Anh có những khu bầu cử gần như không còn người ở mà vẫn bầu hai nghị sĩ. Old Sarum, một ngọn đồi gần Salisbury với tàn tích pháo đài cổ, chỉ có vài cử tri. Trong khi đó những thành phố công nghiệp đông đúc như Manchester và Birmingham không có nghị sĩ riêng. Người Anh gọi các khu như Old Sarum là "rotten borough", tạm dịch "thị trấn mục". Đạo luật Cải cách năm 1832 xoá bỏ hơn năm mươi khu như thế và trao ghế cho các thành phố mới.
Ở bên kia Đại Tây Dương, năm 1812, thống đốc bang Massachusetts là Elbridge Gerry ký một bản đồ chia khu vực bầu thượng viện bang có một khu vực ngoằn ngoèo quanh Boston. Một tờ báo ở Boston in tranh biếm hoạ vẽ khu vực đó thành con vật nửa kỳ nhông (salamander), và đặt tên "Gerry-mander". Từ đó, gerrymandering trở thành từ chung chỉ việc vẽ ranh giới để có lợi cho một phe.
Hai câu chuyện cho thấy hai kiểu méo khác nhau. Old Sarum là méo về dân số: mỗi khu vực một ghế nhưng dân số chênh hàng nghìn lần. Gerrymander là méo về cách gom cử tri: dân số có thể bằng nhau, nhưng ranh giới được uốn để gom hoặc tách các nhóm cử tri.
Đo độ lệch dân số
Bước đầu tiên luôn là số học. Lấy tổng dân số chia số khu vực (khi mỗi khu vực bầu một ghế) được dân số lý tưởng. Độ lệch của mỗi khu vực là (dân số khu vực − dân số lý tưởng) : dân số lý tưởng.
Ví dụ: vùng có 1.000.000 dân chia 5 khu vực, dân số lý tưởng 200.000.
| Khu vực | Dân số | Độ lệch |
|---|---|---|
| 1 | 214.000 | +7,0% |
| 2 | 205.000 | +2,5% |
| 3 | 199.000 | −0,5% |
| 4 | 194.000 | −3,0% |
| 5 | 188.000 | −6,0% |
Hai con số hay dùng: độ lệch lớn nhất (7%) và độ lệch tổng bằng độ lệch dương lớn nhất cộng trị tuyệt đối độ lệch âm lớn nhất (7% + 6% = 13%).
Mỗi nước đặt dung sai riêng. Uỷ ban Venice của Hội đồng châu Âu, trong bộ quy tắc thực hành tốt về bầu cử năm 2002, khuyến nghị độ lệch không quá 10%, và không quá 15% trừ trường hợp đặc biệt như vùng dân thưa hay hải đảo. Anh hiện đặt dung sai khoảng ±5% quanh mức chuẩn cho hầu hết khu vực. Ở Mỹ, sau các phán quyết của Toà án Tối cao đầu thập niên 1960 về nguyên tắc "một người, một phiếu", khu vực bầu Hạ viện liên bang trong cùng một bang phải gần như bằng nhau tuyệt đối.
Gom và tách: cùng phiếu, khác ghế
Giả sử một vùng có 500 cử tri, 300 ủng hộ phe X (60%) và 200 ủng hộ phe Y (40%), chia thành 5 khu vực mỗi khu 100 người, mỗi khu bầu một ghế, ai nhiều phiếu hơn thắng.
| Cách vẽ | Phiếu X / Y trong 5 khu vực | Ghế X | Ghế Y |
|---|---|---|---|
| 1. Tách đều Y | 60/40, 60/40, 60/40, 60/40, 60/40 | 5 | 0 |
| 2. Gom X vào hai khu | 49/51, 49/51, 49/51, 76/24, 77/23 | 2 | 3 |
| 3. Theo cụm tự nhiên | 75/25, 70/30, 65/35, 45/55, 45/55 | 3 | 2 |
Cách 1 gọi là tách (cracking): rải cử tri phe thiểu số mỏng đều ra mọi khu để họ thua ở tất cả. Cách 2 dùng gom (packing): dồn thật nhiều cử tri một phe vào ít khu để họ thắng áp đảo ở đó và thiếu người ở những khu còn lại. Cùng 60% phiếu, X có thể có 5, 3 hay chỉ 2 ghế. Dân số mỗi khu vẫn bằng nhau tuyệt đối.
Đo phiếu lãng phí: khoảng cách hiệu quả
Năm 2014–2015, hai nhà nghiên cứu Nicholas Stephanopoulos và Eric McGhee đề xuất đo bằng phiếu lãng phí. Ở mỗi khu vực, phiếu của bên thua đều lãng phí, còn phiếu của bên thắng vượt quá mức cần để thắng (ở đây là 51) cũng lãng phí. Khoảng cách hiệu quả = (tổng phiếu lãng phí của X − tổng phiếu lãng phí của Y) : tổng số phiếu.
Tính cho ba cách vẽ trên:
- Cách 1: mỗi khu X lãng phí 60 − 51 = 9, Y lãng phí 40. Cộng 5 khu: X 45, Y 200. Khoảng cách = (45 − 200) : 500 = −31%, tức Y lãng phí nhiều hơn hẳn, bản đồ có lợi cho X.
- Cách 2: X lãng phí 49 × 3 + 25 + 26 = 198, Y lãng phí 0 + 0 + 0 + 24 + 23 = 47. Khoảng cách = (198 − 47) : 500 ≈ +30%, bản đồ có lợi cho Y.
- Cách 3: X lãng phí 24 + 19 + 14 + 45 + 45 = 147, Y lãng phí 25 + 30 + 35 + 4 + 4 = 98. Khoảng cách ≈ +9,8%.
Thước đo này dễ tính, nhưng có giới hạn đã được giới nghiên cứu chỉ ra: nó ngầm giả định bên được 60% phiếu "nên" được khoảng 70% ghế (mỗi điểm phần trăm phiếu vượt 50% đổi lấy hai điểm phần trăm ghế). Với 5 ghế, không cách vẽ nào cho đúng 70%, nên cách 3 dù vẽ theo cụm tự nhiên vẫn có khoảng cách gần 10%. Vì vậy nó nên dùng để so nhiều bản đồ với nhau, không phải để phán một bản đồ duy nhất.
Đo hình dạng: Polsby–Popper và Reock
Nhóm thước đo thứ ba bám vào trực giác của tranh biếm hoạ năm 1812: khu vực ngoằn ngoèo đáng ngờ. Hai chỉ số phổ biến:
- Polsby–Popper (công bố năm 1991): 4π × diện tích : chu vi². Hình tròn đạt giá trị 1, hình càng nhiều khúc khuỷu càng gần 0.
- Reock (Ernest Reock, 1961): diện tích khu vực chia diện tích hình tròn nhỏ nhất bao trọn nó. Hình càng dài và hẹp, giá trị càng thấp.
| Hình | Diện tích | Chu vi | Polsby–Popper |
|---|---|---|---|
| Hình tròn | bất kỳ | 1,00 | |
| Hình vuông cạnh 1 | 1 | 4 | 4π × 1 : 16 ≈ 0,79 |
| Chữ nhật 1 × 4 | 4 | 10 | 4π × 4 : 100 ≈ 0,50 |
| Chữ nhật 1 × 9 | 9 | 20 | 4π × 9 : 400 ≈ 0,28 |
Giới hạn của chỉ số hình dạng: bờ biển khúc khuỷu, sông uốn lượn hay ranh giới hành chính có sẵn đều làm điểm thấp mà không ai có lỗi. Chu vi lại phụ thuộc độ chi tiết của bản đồ: đo bờ biển bằng thước càng nhỏ, chu vi càng dài. Ngược lại, một bản đồ gọn gàng vẫn có thể gom và tách cử tri rất hiệu quả, như ví dụ năm khu vực ở trên cho thấy.
Cách làm hiện đại: so với hàng nghìn bản đồ ngẫu nhiên
Từ khoảng thập niên 2010, các nhóm toán học áp dụng một cách tiếp cận khác: dùng máy tính sinh ra hàng nghìn, có khi hàng triệu bản đồ hợp lệ (đủ điều kiện dân số, liền mạch, tôn trọng ranh giới hành chính) bằng các thuật toán bước ngẫu nhiên kiểu chuỗi Markov. Với mỗi bản đồ, tính số ghế mỗi phe sẽ được theo kết quả phiếu thật. Ta có một phân bố "bình thường". Nếu bản đồ đang dùng nằm ở đuôi cực xa của phân bố, ví dụ cho một phe nhiều ghế hơn 99,9% bản đồ ngẫu nhiên, đó là dấu hiệu mạnh rằng ranh giới không vẽ một cách trung lập.
Ưu điểm của cách này là nó tự tính đến địa lý: nếu cử tri một phe vốn tập trung ở thành phố, mọi bản đồ ngẫu nhiên cũng sẽ phản ánh điều đó, và bản đồ thật chỉ bị coi là bất thường khi nó lệch xa hơn mức địa lý giải thích được.
Đọc thêm và tự thực hành
Có thể tự làm thử với giấy kẻ ô: vẽ lưới 5 × 5 ô, tô 15 ô một màu và 10 ô màu khác, rồi tìm cách chia thành 5 vùng liền mạch mỗi vùng 5 ô sao cho màu thiểu số thắng 3 vùng. Bài tập này cho thấy ngay vì sao cần quy tắc. Muốn đọc sâu, có thể tìm cuốn Political Geometry (2022) do Moon Duchin và Olivia Walch biên tập, tập hợp các bài viết về toán học, luật và khoa học máy tính của việc chia khu vực.
Câu hỏi thường gặp
Gerrymandering là gì?
Là việc vẽ ranh giới khu vực bầu cử để có lợi cho một phe, thường bằng cách gom cử tri đối phương vào ít khu hoặc tách họ ra mỏng ở nhiều khu. Tên gọi bắt nguồn từ thống đốc Massachusetts Elbridge Gerry năm 1812.
Chỉ số Polsby–Popper tính thế nào?
Lấy 4π nhân diện tích khu vực rồi chia cho bình phương chu vi. Hình tròn bằng 1, hình vuông khoảng 0,79, hình càng dài hẹp hoặc khúc khuỷu càng gần 0.
Khoảng cách hiệu quả (efficiency gap) là gì?
Là hiệu số phiếu lãng phí của hai phe chia cho tổng số phiếu. Phiếu lãng phí gồm mọi phiếu của bên thua và phần phiếu bên thắng vượt quá mức cần để thắng.
Khu vực bầu cử được phép lệch dân số bao nhiêu?
Tuỳ nước. Uỷ ban Venice khuyến nghị không quá 10%, tối đa 15% trong trường hợp đặc biệt. Anh dùng khoảng ±5%, còn khu vực bầu Hạ viện Mỹ trong cùng một bang phải gần như bằng nhau tuyệt đối.
Rotten borough là gì?
Là những khu bầu cử ở Anh trước năm 1832 gần như không còn dân mà vẫn bầu nghị sĩ, như Old Sarum. Đạo luật Cải cách năm 1832 xoá bỏ phần lớn các khu này.