Vì sao không chia được cho 0: giải thích bằng phép nhân và giới hạn

Không chia được cho 0 vì phép chia được định nghĩa ngược từ phép nhân: 6 chia 2 bằng 3 vì 3 nhân 2 bằng 6. Muốn 6 chia 0 bằng một số nào đó, số ấy nhân 0 phải ra 6, mà mọi số nhân 0 đều ra 0. Không có đáp án nào cả, nên toán học để phép chia cho 0 "không xác định" chứ không gán cho nó một giá trị.

Giải thích bằng phép nhân: lý do gốc

Viết a : b = c nghĩa là c × b = a. Đây là định nghĩa, không phải tính chất phụ. Từ đó có ba trường hợp đáng phân biệt:

• 0 chia một số khác 0, ví dụ 0 : 5. Cần c sao cho c × 5 = 0. Chỉ có c = 0. Vậy 0 : 5 = 0, hoàn toàn hợp lệ.
• Một số khác 0 chia 0, ví dụ 6 : 0. Cần c sao cho c × 0 = 6. Không có c nào. Phép tính vô nghiệm.
• 0 chia 0. Cần c sao cho c × 0 = 0. Số nào cũng thoả: 1, 7, −100 đều được. Phép tính có vô số đáp án, nên cũng không có một giá trị để gọi là kết quả.

Hai trường hợp sau hỏng theo hai kiểu ngược nhau: một bên không có đáp án, một bên có quá nhiều. Nhưng kết luận như nhau: không xác định.

Giải thích bằng chia kẹo

Với trẻ nhỏ, phép chia là chia đều: 12 cái kẹo chia cho 3 bạn, mỗi bạn 4 cái. Chia 12 cái kẹo cho 0 bạn thì câu hỏi "mỗi bạn được mấy cái" mất nghĩa, vì không có bạn nào để nhận. Cách hiểu thứ hai của phép chia là "đếm nhóm": 12 cái kẹo, mỗi túi 3 cái, đóng được 4 túi. Nếu mỗi túi 0 cái, ta bỏ túi mãi mà đống kẹo không vơi đi, không bao giờ xong. Cả hai cách hiểu đều dẫn tới cùng một bức tường.

Giải thích bằng giới hạn: vì sao không gán "vô cực" cho xong

Nhiều người nghĩ 1 : 0 bằng vô cực. Thử chia 1 cho những số càng lúc càng gần 0:

Tiến về 0 từ phía dương, kết quả phình lên không giới hạn. Tiến về 0 từ phía âm, kết quả lao xuống âm không giới hạn. Hai phía đi về hai hướng ngược nhau, nên không có một con số, kể cả "vô cực", mà ta có thể gọi là giá trị của 1 : 0. Trên đồ thị hàm y = 1/x, đó là chỗ đường cong đứt làm hai nhánh, một nhánh vút lên, một nhánh cắm xuống.

Với 0 : 0, giới hạn còn rối hơn. Tử và mẫu cùng tiến về 0 có thể cho ra bất cứ số nào, tuỳ chúng tiến nhanh chậm ra sao. Trong giải tích, 0/0 được gọi là "dạng vô định", và cả một chương sách (quy tắc L'Hôpital) dành để gỡ từng trường hợp.

Nếu cứ cố chia cho 0 thì sao: "chứng minh" 1 = 2

Đây là trò mẹo quen thuộc trong lớp toán. Cho a = b, với a, b khác 0:

1. Nhân hai vế với a: a² = ab.
2. Trừ b² ở hai vế: a² − b² = ab − b².
3. Phân tích: (a + b)(a − b) = b(a − b).
4. Chia hai vế cho (a − b): a + b = b.
5. Vì a = b nên 2b = b, chia cho b: 2 = 1.

Lỗi nằm ở bước 4: vì a = b nên a − b = 0, và ta vừa chia cho 0. Mọi luật biến đổi phương trình đều chỉ đúng khi số chia khác 0. Nếu cho phép chia cho 0, toàn bộ số học sụp đổ: số nào cũng "bằng" số nào. Đó là lý do sâu nhất để cấm, không phải vì các nhà toán học khó tính.

Lịch sử: người xưa từng thử

Nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta, trong tác phẩm Brahmasphutasiddhanta năm 628, là một trong những người đầu tiên viết luật tính toán với số 0 như một con số thực thụ: cộng, trừ, nhân với 0. Ông cũng thử định nghĩa phép chia: theo ông 0 chia 0 bằng 0, còn một số chia 0 là "phân số có mẫu bằng 0". Hôm nay ta biết quy định 0 : 0 = 0 dẫn tới mâu thuẫn, nhưng nỗ lực ấy cho thấy câu hỏi đã được đặt ra từ rất sớm.

Khoảng năm 1150, Bhaskara II viết rằng một số chia cho 0 là một lượng vô hạn, không đổi dù thêm bớt bao nhiêu. Phải tới thế kỷ 17–19, khi giải tích và khái niệm giới hạn được làm chặt, người ta mới thống nhất cách nói hiện đại: phép chia cho 0 không xác định trong số học thông thường.

Máy tính xử lý chia cho 0 thế nào

Máy tính cũng không chia được cho 0, nhưng mỗi loại số có cách báo khác nhau:

Chuẩn IEEE 754 cho ra ±∞ không có nghĩa máy tính "chia được" cho 0. Đó là quy ước kỹ thuật để chương trình chạy tiếp và người lập trình biết có chuyện. Chuẩn này còn có hai số 0, +0 và −0, chính để giữ thông tin "tiến về 0 từ phía nào", đúng với bảng giới hạn ở trên.

Lỗi chia cho 0 có thể gây hậu quả thật. Tháng 9/1997, tàu tuần dương USS Yorktown của Hải quân Mỹ, khi thử nghiệm hệ thống điều khiển bằng máy tính, bị tê liệt động cơ trong vài giờ ngoài khơi Virginia. Nguyên nhân được báo cáo là một thuỷ thủ nhập số 0 vào một ô dữ liệu, phần mềm đem chia cho số đó và lỗi lan ra toàn mạng.

Chia cho 0 trong đời thường: những chỗ dễ vấp

• Tăng bao nhiêu phần trăm từ 0: năm ngoái một cửa hàng bán 0 sản phẩm, năm nay bán 50. Phần trăm tăng là (50 − 0) : 0, không tính được. Báo chí thường viết "từ con số 0" thay vì một tỉ lệ.
• Bình quân của nhóm rỗng: tiền ăn trung bình mỗi người của một bữa không ai đi là 0 đồng chia 0 người, vô nghĩa chứ không phải bằng 0. Bảng tính chia tiền nhóm nên bắt trường hợp này.
• Tỉ số khi mẫu bằng 0: lãi trên vốn khi vốn bằng 0, tốc độ khi thời gian bằng 0, mật độ khi diện tích bằng 0, đều không có nghĩa.
• Lượng giác: tan 90° = sin 90° : cos 90° = 1 : 0, nên tan 90° không xác định; máy tính báo lỗi là đúng.

Góc nhìn hôm nay: có hệ số nào cho phép chia cho 0 không

Có, nhưng phải trả giá. Trong giải tích phức, người ta thêm một điểm "vô cực" duy nhất vào mặt phẳng (mặt cầu Riemann) và quy ước 1/0 = ∞. Đổi lại, các biểu thức ∞ − ∞, 0 × ∞, 0/0 vẫn không xác định, và ∞ không còn tuân theo các luật cộng nhân quen thuộc. Một số nhà toán học còn xây dựng những cấu trúc đại số riêng mà ở đó chia cho 0 luôn có kết quả, nhưng chúng mất nhiều tính chất của số học thường. Bài học chung: muốn chia cho 0 thì phải bỏ bớt luật chơi khác, và với số học hằng ngày, không bên nào đáng để đổi.

Ai muốn đọc thêm có thể tìm cuốn Zero: The Biography of a Dangerous Idea của Charles Seife, kể lịch sử số 0 và những rắc rối triết học quanh nó.