Phép chia có lịch sử gần bốn nghìn năm, và trong phần lớn thời gian đó người ta không chia trực tiếp. Người Ai Cập chia bằng cách nhân đôi rồi cộng lại, người Babylon chia bằng cách nhân với số nghịch đảo tra trong bảng, người Trung Hoa và người Việt gẩy hạt trên bàn tính theo khẩu quyết. Cách "đặt tính chia" học ở lớp 3 hôm nay chỉ phổ biến ở châu Âu từ cuối thế kỷ 15.
Ai Cập cổ: chia là nhân ngược
Người Ai Cập cổ không có bảng cửu chương. Họ chỉ cần biết hai việc: nhân đôi một số và cộng các số lại. Muốn nhân 8 với 23, họ lập cột nhân đôi rồi chọn những dòng có tổng bên trái bằng 23. Phép chia làm đúng như thế, chỉ đổi chiều câu hỏi: thay vì "8 nhân 23 là bao nhiêu", người chép sử hỏi "phải lấy 8 bao nhiêu lần để được 184".
Ví dụ tính 184 chia 8 theo cách Ai Cập:
| Số lần | Giá trị (8 nhân đôi dần) | Có chọn không |
|---|---|---|
| 1 | 8 | có |
| 2 | 16 | có |
| 4 | 32 | có |
| 8 | 64 | không |
| 16 | 128 | có |
Lấy dòng lớn nhất không vượt 184 là 128, còn thiếu 56. Dòng lớn nhất không vượt 56 là 32, còn thiếu 24. Tiếp theo là 16, còn 8, rồi 8, vừa hết. Cộng các số lần ở dòng đã chọn: 16 + 4 + 2 + 1 = 23. Vậy 184 chia 8 bằng 23. Cách này đúng với mọi số vì mỗi số nguyên đều viết được duy nhất thành tổng các luỹ thừa của 2, chính là ý tưởng của hệ nhị phân ba nghìn năm sau.
Khi chia không hết, người Ai Cập viết phần dư bằng tổng các phân số đơn vị (tử số bằng 1), chuyện mà các tài liệu như Papyrus Rhind (khoảng năm 1550 trước Công nguyên) ghi lại rất kỹ. Điều đáng nhớ ở đây là chỗ khác: với người Ai Cập, chia không phải một phép tính riêng, chỉ là phép nhân đặt câu hỏi ngược lại.
Babylon: chia bằng bảng nghịch đảo
Người Lưỡng Hà dùng hệ đếm cơ số 60, dấu vết còn lại đến hôm nay trong 60 phút một giờ, 360 độ một vòng tròn. Họ chia theo một mẹo rất hiện đại: muốn chia a cho b, nhân a với 1/b. Muốn vậy thì phải biết 1/b, nên học trò thời Babylon cổ (khoảng 1800 năm trước Công nguyên) chép thuộc những bảng nghịch đảo trên phiến đất sét.
Trong cơ số 60, 1/8 viết là 0;7,30, nghĩa là 7/60 + 30/3.600 = 0,125. Muốn tính 50 chia 8, người thư lại nhân 50 với 0;7,30 và được 6;15, tức 6 + 15/60 = 6,25. Đúng bằng kết quả ta tính hôm nay.
Mẹo này có một giới hạn. Chỉ những số mà thừa số nguyên tố là 2, 3 và 5 (các ước của 60) mới có nghịch đảo viết gọn trong cơ số 60. Số 7, 11, 13 thì không: 1/7 trong cơ số 60 kéo dài mãi, giống như 1/3 = 0,333… trong hệ thập phân. Các bảng nghịch đảo tiêu chuẩn bỏ qua những số này. Khi bài toán buộc phải chia cho 7, người Babylon tìm cách xấp xỉ hoặc chọn số liệu đề bài sao cho tránh được.
Ý tưởng "chia bằng cách nhân với nghịch đảo" không hề cổ lỗ. Bộ vi xử lý ngày nay vẫn dùng nó: tính gần đúng 1/b thật nhanh rồi nhân với a.
Trung Hoa và Việt Nam: que tính và bàn tính
Ở Trung Hoa, sách Cửu chương toán thuật (hoàn thiện khoảng thế kỷ 1) trình bày phép chia bằng que tính xếp trên bàn, theo bố cục rất giống phép chia dài: số bị chia ở giữa, thương ở trên, số chia ở dưới, mỗi bước dịch số chia sang một hàng. Khi bàn tính phổ biến từ thời Minh, phép chia được làm bằng khẩu quyết gọi là "cửu quy", những câu vần đọc thuộc cho biết gặp số nào thì gẩy hạt ra sao. Sách Toán pháp thống tông của Trình Đại Vị (1592) là cuốn phổ biến bậc nhất về cách dùng bàn tính kiểu này.
Ở Việt Nam, bàn tính và cách chia trên bàn tính được dùng trong buôn bán, đo ruộng, thu thuế suốt nhiều thế kỷ; dân gian gắn công truyền bá với Trạng Lương Thế Vinh thời Lê, dù việc ông soạn cuốn sách toán nào còn được giới nghiên cứu bàn cãi. Bàn tính còn dùng ở các cửa hàng Việt đến tận cuối thế kỷ 20, trước khi máy tính bỏ túi rẻ đi.
Ấn Độ, thế giới Hồi giáo và đường sang châu Âu
Phép chia viết bằng bút chỉ thật sự tiện khi có hệ chữ số theo hàng có số 0, thứ mà các nhà toán học Ấn Độ hoàn thiện trong khoảng thế kỷ 5 đến 7. Các học giả Ba Tư và Ả Rập, tiêu biểu là al-Khwarizmi ở Baghdad (thế kỷ 9), viết sách giới thiệu cách tính bằng chữ số mới. Các nhà toán học Ả Rập về sau, khoảng thế kỷ 12, còn dùng gạch ngang để viết phân số. Năm 1202, Fibonacci đưa các phép tính này vào châu Âu qua cuốn Liber Abaci.
Nhưng phép chia đầu tiên phổ biến ở châu Âu chưa phải phép chia dài ta học. Đó là "chia kiểu thuyền buồm" (galley division, còn gọi phương pháp gạch xoá), vốn hợp với bảng cát hay bảng sáp: viết số rồi gạch dần các chữ số đã dùng, kết quả trông như cánh buồm. Cách này giữ vị trí số một ở Ý, Anh, Pháp đến khoảng thế kỷ 17, vì tốn ít chỗ viết.
Phép chia dài và các dấu chia
Phép chia dài theo kiểu ghi lần lượt từng tích, từng hiệu xuống dưới xuất hiện trong sách in của Filippo Calandri ở Florence năm 1491, thường được coi là bản in sớm nhất trình bày cách này. Khi giấy rẻ hơn, viết nhiều không còn tốn kém, phép chia dài dần thay phương pháp gạch xoá vì dễ kiểm lại từng bước.
Dấu chia cũng có lịch sử riêng:
- Gạch phân số: các nhà toán học Ả Rập dùng từ khoảng thế kỷ 12, Fibonacci mang sang châu Âu.
- Dấu ÷ (obelus): Johann Rahn dùng cho phép chia trong cuốn đại số tiếng Đức năm 1659. Trước đó ký hiệu này dùng để đánh dấu chỗ đáng ngờ trong bản chép tay.
- Dấu hai chấm: Leibniz dùng cho phép chia từ năm 1684. Sách giáo khoa Việt Nam, theo truyền thống Pháp, dùng dấu ":" này, còn máy tính bỏ túi in dấu ÷.
Đặt tính chia kiểu Việt Nam: một ví dụ
Trường học Việt Nam đặt tính theo lối Pháp: số bị chia bên trái, số chia bên phải, thương viết dưới số chia. Học sinh Mỹ đặt khác: số chia bên trái, thương viết phía trên. Thuật toán vẫn là một. Tính 7.452 chia 6:
- Lấy 7 chia 6 được 1, viết 1. 1 nhân 6 bằng 6, 7 trừ 6 còn 1.
- Hạ 4 được 14. 14 chia 6 được 2, viết 2. 2 nhân 6 bằng 12, 14 trừ 12 còn 2.
- Hạ 5 được 25. 25 chia 6 được 4, viết 4. 4 nhân 6 bằng 24, 25 trừ 24 còn 1.
- Hạ 2 được 12. 12 chia 6 được 2, viết 2, hết.
Thương là 1.242. Kiểm lại: 1.242 nhân 6 bằng 7.452. Mỗi bước thật ra chỉ là phương pháp Ai Cập làm theo từng hàng chữ số: hỏi "số chia vừa đủ bao nhiêu lần" rồi trừ đi.
Dòng thời gian của phép chia
| Mốc | Nơi | Cách chia |
|---|---|---|
| Khoảng 1800 TCN | Lưỡng Hà | Nhân với số nghịch đảo tra trong bảng, cơ số 60 |
| Khoảng 1550 TCN | Ai Cập | Nhân đôi rồi cộng, phần dư viết bằng phân số đơn vị |
| Khoảng thế kỷ 1 | Trung Hoa | Que tính, bố cục giống chia dài (Cửu chương toán thuật) |
| Thế kỷ 5–7 | Ấn Độ | Chữ số theo hàng có số 0 |
| Thế kỷ 9 | Baghdad | Sách tính bằng chữ số Ấn Độ (al-Khwarizmi) |
| 1202 | Ý | Liber Abaci đưa cách tính mới vào châu Âu |
| 1491 | Florence | Phép chia dài trong sách in của Calandri |
| 1592 | Trung Hoa | Khẩu quyết chia trên bàn tính (Toán pháp thống tông) |
| 1659 và 1684 | Đức | Dấu ÷ (Rahn), dấu ":" (Leibniz) |
Góc nhìn hôm nay: còn gì để học từ cách chia xưa
Ba cách chia cổ vẫn còn giá trị thực tế. Phương pháp Ai Cập là cách nhanh nhất để chia nhẩm cho số nhỏ khi không nhớ bảng: 184 chia 8 thành "nửa của nửa của nửa", 184, 92, 46, 23. Mẹo Babylon giúp chia nhẩm cho 5, 25, 125: chia cho 5 là nhân 2 rồi chia 10, chia cho 25 là nhân 4 rồi chia 100, vì 1/5 = 0,2 và 1/25 = 0,04. Còn phép chia dài dạy một thói quen đáng giá: mỗi bước đều kiểm lại được.
Muốn xem tận mắt, các bảo tàng lớn như Bảo tàng Anh (London) và Bảo tàng Penn (Philadelphia) lưu giữ nhiều phiến đất sét toán học Babylon; Bảo tàng Anh còn giữ phần lớn Papyrus Rhind. Ở Việt Nam, bàn tính cũ vẫn tìm được ở chợ đồ xưa, và thử chia một phép tính trên đó là cách hay để hiểu vì sao người xưa cần khẩu quyết.
Câu hỏi thường gặp
Ai phát minh ra phép chia?
Không có một người phát minh. Phép chia xuất hiện độc lập ở nhiều nền văn minh: Lưỡng Hà và Ai Cập đã có cách chia từ khoảng 1800–1550 năm trước Công nguyên, Trung Hoa có phép chia bằng que tính từ khoảng thế kỷ 1. Phép chia dài ta học hôm nay hình thành ở châu Âu cuối thế kỷ 15.
Người Ai Cập cổ chia như thế nào?
Họ nhân đôi số chia liên tiếp (8, 16, 32, 64…), chọn các dòng có tổng bằng số bị chia rồi cộng các số lần tương ứng. Ví dụ 184 chia 8: chọn 128 + 32 + 16 + 8, ứng với 16 + 4 + 2 + 1 = 23 lần.
Dấu chia ÷ có từ khi nào?
Dấu ÷ được Johann Rahn dùng cho phép chia trong một cuốn sách đại số tiếng Đức năm 1659. Dấu hai chấm cho phép chia do Leibniz dùng từ năm 1684, và đây là dấu sách giáo khoa Việt Nam dùng.
Vì sao người Babylon chia bằng cách nhân?
Trong hệ cơ số 60, nhân dễ hơn chia, nên họ lập sẵn bảng số nghịch đảo 1/b rồi nhân số bị chia với số đó. Cách này chỉ gọn khi b chỉ có thừa số 2, 3, 5; số như 7 hay 11 không có nghịch đảo viết gọn trong cơ số 60.
Phép chia dài xuất hiện năm nào?
Bản in sớm nhất thường được dẫn là sách số học của Filippo Calandri in ở Florence năm 1491. Trước đó và cả một thời gian dài sau đó, châu Âu dùng phổ biến phương pháp gạch xoá, còn gọi là chia kiểu thuyền buồm.