Bội chung nhỏ nhất và chu kỳ trùng nhau: lịch xe, can chi, bánh răng

Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai số là số nhỏ nhất chia hết cho cả hai, và nó trả lời câu hỏi "bao lâu nữa hai việc lặp lại sẽ trùng nhau". Hai chuyến xe buýt 12 phút và 18 phút một chuyến cùng xuất bến lúc 6 giờ thì 36 phút sau lại cùng xuất bến, vì 36 là BCNN của 12 và 18. Cách nhanh nhất để tính: lấy tích hai số chia cho ước chung lớn nhất của chúng.

BCNN là gì: định nghĩa bằng ví dụ

Bội của một số là các số chia hết cho nó. Bội của 12 là 12, 24, 36, 48, 60, 72…; bội của 18 là 18, 36, 54, 72… Những số có mặt ở cả hai dãy là bội chung: 36, 72, 108… Số nhỏ nhất trong đó, 36, là bội chung nhỏ nhất.

BCNN là "anh em" của ước chung lớn nhất (ƯCLN). ƯCLN trả lời bài toán chia nhỏ thành phần bằng nhau, BCNN trả lời bài toán gộp lại cho tới khi trùng khớp. Hai con số nối với nhau bằng một đẳng thức gọn: tích hai số bằng tích ƯCLN và BCNN. Với 12 và 18: ƯCLN là 6, BCNN là 36, và 6 × 36 = 216 = 12 × 18.

Ba cách tính BCNN bằng tay

Cách 1: liệt kê bội của số lớn

Viết dần bội của số lớn hơn, dừng ở số đầu tiên chia hết cho số nhỏ. Với 12 và 18: 18 không chia hết cho 12, 36 chia hết. Vậy BCNN là 36. Nhanh với số nhỏ, chậm khi hai số "lệch pha" nhau nhiều.

Cách 2: phân tích ra thừa số nguyên tố

12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3². BCNN lấy mỗi thừa số nguyên tố với số mũ lớn nhất: 2² × 3² = 36. (ƯCLN thì lấy số mũ nhỏ nhất: 2 × 3 = 6.) Cách này hợp khi tính BCNN của nhiều số một lúc.

Cách 3: dùng ƯCLN

BCNN(a, b) = a × b : ƯCLN(a, b). Với số lớn, tìm ƯCLN bằng thuật toán Euclid rồi chia. Ví dụ BCNN(84, 120): 120 chia 84 dư 36, 84 chia 36 dư 12, 36 chia 12 dư 0, ƯCLN là 12. BCNN = 84 × 120 : 12 = 840.

Lỗi hay gặp với ba số trở lên

Công thức tích chia ƯCLN chỉ đúng cho hai số. Với 4, 6, 10: tích là 240, ƯCLN chung là 2, nếu chia ra 120 là sai. BCNN thật là 60 (60 chia hết cho 4, 6 và 10). Cách đúng là tính lần lượt: BCNN(4, 6) = 12, rồi BCNN(12, 10) = 60.

Lịch xe, lịch trực, đèn giao thông: BCNN trong đời thường

Ví dụ đèn giao thông cho thấy vì sao kỹ sư giao thông thích cho các nút trên một tuyến đường cùng chu kỳ, hoặc chu kỳ là bội của nhau. Nếu hai nút gần nhau có chu kỳ 60 và 70 giây, BCNN là 420 giây: "làn sóng xanh" chỉ khớp được 7 phút một lần, phần lớn thời gian xe phải dừng ở nút thứ hai.

Ví dụ lịch thuốc chỉ để minh hoạ phép tính; giờ uống thuốc thật phải theo chỉ định của bác sĩ hoặc dược sĩ.

Vì sao can chi lặp lại sau 60 năm, không phải 120

Lịch can chi ghép 10 thiên can với 12 địa chi. Nếu ghép tự do, sẽ có 10 × 12 = 120 cặp. Nhưng can và chi đi cùng nhịp, mỗi năm cùng tiến một bước, nên cặp (Giáp, Tý) chỉ quay lại khi số năm vừa là bội của 10, vừa là bội của 12. Số nhỏ nhất như vậy là BCNN(10, 12) = 60. Đó là "lục thập hoa giáp".

Hệ quả: có 60 cặp không bao giờ xuất hiện. Giáp là can thứ nhất (lẻ), Tý là chi thứ nhất (lẻ); can lẻ luôn đi với chi lẻ, can chẵn với chi chẵn. Vì thế có năm Giáp Tý, Giáp Tuất, Giáp Thân, nhưng không bao giờ có năm Giáp Sửu. Quy luật chung: hai chu kỳ có ước chung lớn nhất là d thì chỉ 1/d số tổ hợp thật sự xuất hiện; ở đây d = 2, nên chỉ một nửa.

Người Maya ở Trung Mỹ có một cấu trúc tương tự. Lịch nghi lễ Tzolk'in dài 260 ngày, lịch dân sự Haab dài 365 ngày. Một ngày ghép tên theo cả hai lịch chỉ lặp lại sau BCNN(260, 365) = 18.980 ngày, xấp xỉ 52 năm, gọi là "vòng lịch". Vì ƯCLN(260, 365) = 5, cũng chỉ một phần năm số tổ hợp thật sự xuất hiện.

Tờ lịch năm nay dùng lại được năm nào

Năm thường có 365 ngày, tức 52 tuần dư 1 ngày, nên ngày 1/1 năm sau lùi một thứ; năm nhuận dư 2 ngày, lùi hai thứ. Một tờ lịch dùng lại được khi tổng số ngày dư là bội của 7 và hai năm cùng là năm thường hoặc cùng là năm nhuận.

Ví dụ năm 2026: ngày 1/1/2026 là thứ Năm, năm thường. Năm 2015 cũng bắt đầu bằng thứ Năm và là năm thường, nên tờ lịch 2015 trùng khớp từng ngày với 2026. Năm 2037 cũng vậy: từ 2026 đến 2037 là 11 năm, có 3 năm nhuận (2028, 2032, 2036), tổng số ngày dư là 11 + 3 = 14, chia hết cho 7.

Ở quy mô lớn, lịch Gregory lặp lại hoàn toàn sau đúng 400 năm. Lý do là 400 năm có 97 năm nhuận, tổng 146.097 ngày, và 146.097 = 7 × 20.871, chia hết cho 7. Như vậy ngày 14/11/2426 sẽ rơi vào cùng thứ với ngày 14/11/2026. Nhiều khả năng đây là một sự trùng hợp, vì người soạn lịch năm 1582 nhắm tới độ dài năm thiên văn chứ không nhắm tới thứ trong tuần.

Bánh răng và chuyện mòn đều

Hai bánh răng ăn khớp, một bánh 12 răng, một bánh 20 răng. Đánh dấu một răng trên mỗi bánh, đang chạm nhau. Bao lâu thì cặp răng ấy chạm lại? Khi số răng đã qua là bội chung của 12 và 20, tức sau BCNN(12, 20) = 60 răng: bánh nhỏ quay 5 vòng, bánh lớn quay 3 vòng.

Thợ máy và thợ đồng hồ lâu nay để ý chuyện này. Với 12 và 20 răng, ƯCLN là 4, mỗi răng chỉ gặp một phần tư số răng của bánh kia; nếu một răng có vết xước, nó cứ cọ mãi vào vài răng cố định. Đổi sang 13 và 20 răng (nguyên tố cùng nhau), BCNN là 260: mỗi răng lần lượt gặp mọi răng của bánh kia, độ mòn chia đều. Tiếng Anh gọi chiếc răng thêm vào để làm việc này là hunting tooth, "răng săn". Đây cũng là một bài toán phân chia: chia đều hao mòn cho mọi răng.

Ve sầu chu kỳ 13 và 17 năm ở Bắc Mỹ thường được nêu như một ví dụ BCNN trong tự nhiên: chu kỳ là số nguyên tố thì hiếm khi trùng với chu kỳ của loài săn mồi.

Góc nhìn hôm nay: nhận ra bài toán BCNN

Dấu hiệu nhận ra: đề bài có hai (hoặc nhiều) việc lặp lại đều đặn và hỏi "khi nào trùng nhau lần nữa", "sau bao lâu cùng lúc", "ít nhất bao nhiêu thì vừa chia hết cho…". Còn khi đề bài hỏi "chia thành nhiều nhất bao nhiêu phần bằng nhau", đó là ƯCLN.

Một ứng dụng nhỏ khi lên lịch nhóm: muốn các buổi họp tổ 2 tuần một lần và buổi họp toàn công ty 3 tuần một lần không bao giờ dồn vào cùng một tuần thì không được, vì cứ 6 tuần chúng phải trùng một lần. Biết trước điều đó, ta xếp lệch ngày trong tuần thay vì cố đổi chu kỳ. Trong Excel và Google Sheets, hàm LCM tính BCNN cho cả dãy số.