Số thập phân vô hạn tuần hoàn: vì sao 1/7 lặp lại 142857 mãi

Chia 1 cho 7 ra 0,142857142857… lặp mãi vì trong phép chia dài, mỗi bước chỉ có thể dư 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6; sau tối đa sáu bước, một phần dư cũ phải quay lại và từ đó các chữ số lặp y hệt. Quy luật chung: một phân số tối giản cho ra số thập phân hữu hạn khi mẫu số chỉ có thừa số 2 và 5; mọi mẫu số khác đều cho ra số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Nhìn tận mắt: chia dài 1 cho 7

Làm phép chia dài và ghi lại phần dư ở mỗi bước:

Sau bước 6, phần dư là 1, đúng như lúc bắt đầu (ta chia 1 cho 7). Bước 7 sẽ lại là "10 chia 7 được 1 dư 3", và cả chuỗi lặp lại. Kết quả: 1/7 = 0,(142857), với dấu ngoặc chỉ phần lặp, gọi là chu kỳ. Chu kỳ dài 6 chữ số, và sáu phần dư 3, 2, 6, 4, 5, 1 đi qua đủ mọi giá trị có thể từ 1 đến 6.

Lý lẽ áp dụng cho mọi phép chia số nguyên: chia cho q thì phần dư chỉ có q khả năng từ 0 đến q − 1. Nếu gặp dư 0, phép chia dừng, ta có số thập phân hữu hạn. Nếu không bao giờ gặp dư 0, chỉ còn q − 1 khả năng, nên trong tối đa q − 1 bước phải có một phần dư lặp lại, và từ đó các chữ số lặp theo. Vì vậy chu kỳ của 1/q không bao giờ dài quá q − 1 chữ số.

Khi nào hữu hạn, khi nào tuần hoàn

Một số thập phân hữu hạn như 0,375 chính là 375/1000. Mẫu 1000 = 2³ × 5³. Rút gọn phân số chỉ làm bớt thừa số 2 và 5 ở mẫu, không thêm thừa số mới. Vậy một phân số tối giản là số thập phân hữu hạn khi và chỉ khi mẫu số chỉ gồm thừa số 2 và 5.

• Hữu hạn: 1/2 = 0,5; 3/8 = 0,375; 7/20 = 0,35; 1/16 = 0,0625; 9/40 = 0,225.
• Tuần hoàn đơn (mẫu không có 2, 5): 1/3 = 0,(3); 1/11 = 0,(09); 1/13 = 0,(076923); 1/27 = 0,(037).
• Tuần hoàn tạp (mẫu có cả 2 hoặc 5 và thừa số khác): 1/6 = 0,1(6); 1/12 = 0,08(3); 7/12 = 0,58(3); 1/14 = 0,0(714285). Phần không lặp ở đầu dài bằng số mũ lớn nhất của 2 hoặc 5 trong mẫu.

Bảng độ dài chu kỳ: vì sao 1/7 dài 6 mà 1/13 cũng dài 6

Độ dài chu kỳ của 1/q (q không chia hết cho 2, 5) bằng số k nhỏ nhất sao cho 10 mũ k chia q dư 1, tức là số chữ số 9 ít nhất để 99…9 chia hết cho q. Kiểm tra: 999.999 = 7 × 142.857, nên chu kỳ của 1/7 dài 6. 999 = 37 × 27, nên 1/37 = 27/999 = 0,(027), chu kỳ dài 3. 99 = 11 × 9, nên 1/11 = 9/99 = 0,(09).

Có những số nguyên tố p cho chu kỳ dài tối đa, đúng p − 1 chữ số: 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97… Câu hỏi có vô số số nguyên tố như vậy hay không là giả thuyết Artin, đặt ra năm 1927, đến nay vẫn chưa ai chứng minh được.

Con số 142857 và những điều lạ

Nhân 142857 với 1 đến 6, ta được chính các chữ số ấy xoay vòng:

• 142857 × 2 = 285714
• 142857 × 3 = 428571
• 142857 × 4 = 571428
• 142857 × 5 = 714285
• 142857 × 6 = 857142
• 142857 × 7 = 999999

Không có phép màu: 2/7, 3/7… 6/7 dùng cùng vòng phần dư như 1/7, chỉ bắt đầu ở chỗ khác, nên chu kỳ của chúng là cùng sáu chữ số, xoay vòng. Còn 7/7 = 1 = 0,(999999).

Một điều lạ nữa: cắt chu kỳ làm đôi rồi cộng, 142 + 857 = 999. Với 1/13: 076 + 923 = 999. Đây là định lý Midy (nhà toán học Pháp E. Midy, 1836): với mẫu là số nguyên tố và chu kỳ có độ dài chẵn, hai nửa cộng lại luôn được toàn chữ số 9.

Đổi ngược số tuần hoàn thành phân số

Mẹo nhân 10 rồi trừ giải được mọi trường hợp.

Tuần hoàn đơn: x = 0,(36). Nhân 100 (chu kỳ hai chữ số): 100x = 36,(36). Trừ đi x: 99x = 36, nên x = 36/99 = 4/11. Quy tắc nhanh: chu kỳ chia cho chừng ấy chữ số 9.

Tuần hoàn tạp: x = 0,1(6). Ta có 10x = 1,(6) và 100x = 16,(6). Trừ: 90x = 15, x = 15/90 = 1/6.

0,(9) bằng bao nhiêu: x = 0,999…, 10x = 9,999…, trừ ra 9x = 9, x = 1. Nhiều người khó chấp nhận 0,999… bằng đúng 1, nhưng đây không phải xấp xỉ: hai cách viết chỉ cùng một số, giống 1/2 và 0,5. Một cách thấy ngay: 1/3 = 0,333…, nhân 3 hai vế được 1 = 0,999…

Đổi cơ số là đổi chuyện hữu hạn hay vô hạn

Việc 1/3 "vô hạn" là chuyện của hệ thập phân, không phải của chính con số. Trong hệ cơ số 12, 1/3 viết gọn là 0,4. Người Babylon dùng cơ số 60 nên 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 đều hữu hạn, chỉ có 1/7, 1/11 là vô hạn.

Máy tính dùng hệ nhị phân, nơi chỉ những phân số có mẫu là luỹ thừa của 2 mới hữu hạn. 1/10 trong hệ nhị phân là 0,0(0011), vô hạn tuần hoàn. Máy phải cắt bớt, nên lưu 0,1 không đúng tuyệt đối. Hệ quả nổi tiếng: trong Python hay JavaScript, 0,1 + 0,2 cho ra 0,30000000000000004. Đó không phải lỗi máy, mà là phép chia 1 cho 10 không bao giờ dứt trong hệ nhị phân. Phần mềm kế toán vì thế thường tính tiền bằng số nguyên (đơn vị đồng hoặc xu) thay vì số thập phân dấu phẩy động.

Góc nhìn hôm nay: số tuần hoàn khi chia tiền

Chia 100.000 đồng cho 3 người, mỗi người 33.333,33… đồng. Thực tế không ai trả lẻ đồng, nên luôn còn lại một phần để ai đó gánh thêm: hai người 33.000 đồng, một người 34.000 đồng, hoặc ba người 33.333 đồng và dư 1 đồng. Khi chia hoá đơn lớn nhiều lần, những phần lẻ này cộng dồn; cách sòng phẳng là luân phiên người gánh phần lẻ qua các lần.

Với người học, trò "tự chia dài 1/17 bằng tay rồi kiểm xem có đúng 16 chữ số" là bài tập rất tốt để thấy phần dư điều khiển phép chia. Ai thích đọc thêm có thể tìm các bài về "repeating decimals" và "cyclic numbers" trên các kênh phổ biến toán học như Numberphile.