Định lý Wallace–Bolyai–Gerwien nói rằng: hai đa giác bất kỳ có cùng diện tích thì luôn cắt được đa giác này thành một số hữu hạn mảnh rồi ghép lại thành đa giác kia, chỉ bằng kéo và dịch chuyển, không co giãn, không chồng mép. Một hình vuông có thể biến thành tam giác, thành ngôi sao, thành hình chữ nhật dài ngoằng có cùng diện tích. Điều ngược lại cũng hiển nhiên đúng, nên với đa giác, "cùng diện tích" và "cắt ghép được thành nhau" là một.
Ba cái tên và một câu hỏi
Định lý mang tên ba người ở ba nước. William Wallace, nhà toán học Scotland, được ghi nhận là người đã chứng minh kết quả sớm nhất, vào khoảng năm 1807. Farkas Bolyai, nhà toán học Hungary (cha của János Bolyai, một trong những người tìm ra hình học phi Euclid), nêu và bàn câu hỏi này trong sách năm 1832. Paul Gerwien, một sĩ quan và nhà toán học nghiệp dư người Phổ, công bố chứng minh năm 1833. Ba người làm việc gần như độc lập, nên tên cả ba được ghép lại.
Câu hỏi gốc rất đời thường: người ta đo đất, đo vải bằng diện tích; nhưng có đúng là hai mảnh cùng diện tích thì "đổi" được cho nhau bằng cách cắt ra ghép lại không? Với đa giác, câu trả lời là có, luôn luôn.
Ý tưởng chứng minh: đưa mọi thứ về một hình chữ nhật chuẩn
Chứng minh không cần công thức phức tạp, chỉ cần ba bước, và có thể làm thật bằng giấy bìa.
Bước 1: chia đa giác thành tam giác
Mọi đa giác, kể cả lõm, đều chia được thành tam giác bằng các đường chéo. Ngũ giác cho 3 tam giác, lục giác cho 4 tam giác.
Bước 2: biến mỗi tam giác thành hình chữ nhật
Lấy tam giác có đáy b và chiều cao h. Cắt theo đường trung bình song song với đáy (đường nối trung điểm hai cạnh bên), được một hình thang ở dưới và một tam giác nhỏ ở trên. Hạ đường cao từ đỉnh tam giác nhỏ, cắt nó làm hai tam giác vuông. Xoay mỗi tam giác vuông 180 độ quanh trung điểm cạnh bên, chúng lấp vào hai góc của hình thang. Kết quả là hình chữ nhật đáy b, cao h/2. Diện tích không đổi: b × h/2.
Ví dụ: tam giác đáy 8 cm, cao 6 cm (diện tích 24 cm²) thành hình chữ nhật 8 cm × 3 cm bằng 3 mảnh.
Bước 3: đổi mọi hình chữ nhật về cùng một chiều rộng
Đây là bước khéo nhất. Chọn trước một chiều rộng chuẩn, ví dụ 1 cm. Một hình chữ nhật bất kỳ có thể cắt ghép thành hình chữ nhật rộng 1 cm cùng diện tích bằng một nhát cắt chéo rồi trượt mảnh (nếu tỉ lệ cạnh quá chênh, trước tiên cắt đôi rồi chồng lên để tỉ lệ bớt chênh). Xếp tất cả các hình chữ nhật rộng 1 cm chồng lên nhau, được một dải dài 1 cm × A cm, với A là tổng diện tích.
Ghép hai chiều
Làm tương tự với đa giác thứ hai, cũng ra dải 1 cm × A cm. Vẽ chồng hai hệ đường cắt lên cùng một dải: các mảnh nhỏ hơn sinh ra từ cả hai hệ đường cắt có thể ráp lại thành đa giác thứ nhất, cũng ráp lại được thành đa giác thứ hai. Thế là xong.
Chứng minh này cho số mảnh hữu hạn nhưng thường rất nhiều, có khi hàng chục, hàng trăm. Tìm cách cắt ít mảnh nhất là một bài toán khác hẳn, khó hơn nhiều.
Những phép cắt ít mảnh nổi tiếng
| Từ hình | Thành hình | Số mảnh | Ghi chú |
|---|---|---|---|
| Hình chữ nhật 9 × 4 | Hình vuông 6 × 6 | 2 | Một nhát cắt bậc thang |
| Tam giác bất kỳ | Hình chữ nhật | 3 | Cách ở bước 2 phía trên |
| Tam giác đều | Hình vuông | 4 | Câu đố của Dudeney, các mảnh nối bản lề |
| Hai hình vuông bất kỳ | Một hình vuông | 5 | Một cách chứng minh định lý Pythagoras |
Nhát cắt bậc thang: 9 × 4 thành 6 × 6
Hình chữ nhật rộng 9 cm, cao 4 cm có diện tích 36 cm², bằng hình vuông cạnh 6 cm. Chia hình chữ nhật thành lưới các ô 3 cm × 2 cm (3 cột, 2 hàng). Cắt theo một đường bậc thang hai nấc: mảnh A gồm ô hàng dưới cột 1, cột 2 và ô hàng trên cột 1; mảnh B gồm ô hàng dưới cột 3 và ô hàng trên cột 2, cột 3. Dịch mảnh B sang trái 3 cm và lên trên 2 cm: nó ngồi khít lên mảnh A, tạo hình vuông 6 × 6. Thợ mộc, thợ may đã dùng mẹo bậc thang này từ rất lâu để nối ván, nối vải mà không phí vật liệu.
Câu đố người bán vải của Dudeney
Henry Dudeney, tác giả câu đố người Anh, đăng năm 1902 câu đố cắt tam giác đều thành 4 mảnh ghép lại thành hình vuông, và in lại trong cuốn The Canterbury Puzzles (1907) với tên "câu đố người bán vải" (the haberdasher's puzzle). Điểm đặc biệt: bốn mảnh có thể nối với nhau bằng bản lề thành một chuỗi; gập chuỗi theo một chiều ra tam giác, gập theo chiều kia ra hình vuông. Dudeney từng trình diễn mô hình bằng gỗ gụ có bản lề trước Hội Hoàng gia London năm 1905.
Lên ba chiều: bài toán thứ ba của Hilbert
Đến khối đa diện thì mọi chuyện đổi khác. Năm 1900, David Hilbert đưa ra danh sách 23 bài toán lớn cho thế kỷ mới. Bài thứ ba hỏi: hai khối đa diện cùng thể tích có luôn cắt ghép được thành nhau không? Hilbert đoán là không.
Ngay năm 1900 (bài công bố năm 1901), học trò của ông là Max Dehn chứng minh đoán đúng: một hình lập phương và một tứ diện đều cùng thể tích không thể cắt ghép thành nhau bằng hữu hạn mảnh phẳng. Dehn dùng một đại lượng nay gọi là bất biến Dehn: cộng dồn "độ dài cạnh nhân góc nhị diện" theo một cách đặc biệt. Cắt ghép không làm đổi bất biến này. Lập phương có mọi góc nhị diện 90 độ, là một phần tư vòng tròn, nên bất biến Dehn bằng 0. Tứ diện đều có góc nhị diện khoảng 70,53 độ, không phải phân số hữu tỉ của 180 độ, nên bất biến của nó khác 0. Hai khối khác bất biến thì không đổi được cho nhau.
Năm 1965, Jean-Pierre Sydler chứng minh chiều ngược lại: hai khối đa diện cùng thể tích và cùng bất biến Dehn thì cắt ghép được thành nhau. Vậy trong không gian ba chiều cần đúng hai "nhãn" để quyết định, còn trên mặt phẳng chỉ cần một nhãn là diện tích.
Đây cũng là lý do sách giáo khoa không chứng minh công thức thể tích hình chóp bằng cắt ghép như với diện tích tam giác, mà phải dùng giới hạn (chia lát mỏng) hoặc một mẹo riêng như ghép ba hình chóp thành một lăng trụ.
Còn hình cong thì sao
Định lý chỉ nói về đa giác, cạnh thẳng. Hình tròn không thể cắt bằng kéo thành hữu hạn mảnh (cạnh là đường thẳng hoặc đường cong trơn) rồi ghép thành hình vuông: phần mép cong lồi không có chỗ nào lõm để bù. Năm 1925 Alfred Tarski hỏi liệu có làm được với mảnh tuỳ ý không, và năm 1990 Miklós Laczkovich trả lời là có, chỉ cần dịch chuyển, nhưng với khoảng 10 mũ 50 mảnh có hình dạng kỳ dị đến mức không cắt được bằng bất kỳ dụng cụ nào. Đó thuộc về họ nghịch lý kiểu Banach–Tarski, rất khác với phép cắt kéo của Wallace, Bolyai và Gerwien.
Góc nhìn hôm nay: tự làm bằng giấy bìa
- Tam giác thành chữ nhật: cắt tam giác từ bìa cứng, làm theo bước 2. Trẻ lớp 4, lớp 5 hiểu ngay vì sao diện tích tam giác là đáy nhân cao chia hai.
- Bậc thang 9 × 4 thành 6 × 6: dùng giấy kẻ ô, một nhát kéo, cực kỳ thuyết phục.
- Hai hình vuông thành một: vẽ hai hình vuông cạnh 3 và 4 sát nhau, cắt 5 mảnh ghép thành hình vuông cạnh 5. Đây là cách "thấy" định lý Pythagoras bằng tay, nhiều bộ đồ dùng dạy học có sẵn mẫu.
Muốn đọc sâu hơn, cuốn Dissections: Plane & Fancy của Greg Frederickson (1997) là bộ sưu tập lớn nhất về các phép cắt ghép ít mảnh, có cả lịch sử từng câu đố.
Câu hỏi thường gặp
Định lý Wallace–Bolyai–Gerwien là gì?
Đó là định lý nói rằng hai đa giác bất kỳ có cùng diện tích luôn cắt được đa giác này thành hữu hạn mảnh đa giác rồi ghép lại thành đa giác kia. Định lý được William Wallace chứng minh khoảng năm 1807, Farkas Bolyai nêu năm 1832 và Paul Gerwien chứng minh năm 1833.
Có cắt hình vuông ghép thành tam giác được không?
Được, nếu cùng diện tích. Henry Dudeney tìm ra cách cắt tam giác đều thành 4 mảnh ghép lại thành hình vuông, công bố năm 1902, các mảnh còn nối được với nhau bằng bản lề. Với tam giác bất kỳ, định lý Wallace–Bolyai–Gerwien bảo đảm luôn có cách cắt hữu hạn mảnh.
Bài toán thứ ba của Hilbert là gì?
Bài toán hỏi hai khối đa diện cùng thể tích có luôn cắt ghép được thành nhau không. Max Dehn chứng minh năm 1900 là không: hình lập phương và tứ diện đều cùng thể tích không cắt ghép thành nhau được, vì chúng có bất biến Dehn khác nhau.
Bất biến Dehn là gì?
Bất biến Dehn là một đại lượng tính từ độ dài các cạnh và góc nhị diện tại các cạnh của khối đa diện, không đổi khi cắt ghép. Lập phương có bất biến bằng 0 vì mọi góc nhị diện là 90 độ; tứ diện đều có bất biến khác 0. Năm 1965 Sydler chứng minh thể tích cùng bất biến Dehn là đủ để quyết định.
Hình tròn có cắt ghép thành hình vuông được không?
Không thể với mảnh cắt được bằng kéo. Laczkovich chứng minh năm 1990 rằng làm được nếu cho phép mảnh có hình dạng kỳ dị, khoảng 10 mũ 50 mảnh, chỉ dịch chuyển không xoay. Kết quả này trả lời câu hỏi Tarski nêu năm 1925.