Định lý bánh kẹp (ham sandwich theorem) nói rằng: đặt ba vật thể bất kỳ trong không gian, chẳng hạn hai lát bánh mì và một lát giăm bông nằm lung tung trên bàn, luôn có một mặt phẳng duy nhất một nhát chia đôi thể tích của cả ba cùng lúc. Bản trên mặt phẳng dễ hình dung hơn: hai miếng bánh xèo hình thù gì cũng được, luôn có một đường thẳng chia đôi diện tích của cả hai. Định lý được Hugo Steinhaus đặt ra năm 1938 và Stefan Banach chứng minh bằng định lý Borsuk–Ulam.
Phát biểu cho người không học toán cao cấp
Trong không gian ba chiều, lấy ba "khối" bất kỳ: có thể lồi lõm, có lỗ, tách rời nhau, miễn là đo được thể tích. Khi đó tồn tại một mặt phẳng mà mỗi khối bị chia thành hai phần có thể tích bằng nhau. Không cần ba khối nằm gần nhau, không cần chúng có hình dạng đẹp, cũng không cần chúng xếp chồng lên nhau như một chiếc bánh mì kẹp thật.
Điều đáng ngạc nhiên nằm ở con số. Một mặt phẳng trong không gian có đúng ba "bậc tự do": hai cho hướng nghiêng, một cho vị trí xa gần. Ba khối đòi ba điều kiện "chia đôi". Ba bậc tự do vừa khít ba điều kiện. Thêm khối thứ tư là định lý hết đảm bảo, vì không còn bậc tự do nào để chiều theo.
Quy luật này đúng ở mọi số chiều: trên mặt phẳng, một đường thẳng chia đôi được hai hình; trong không gian ba chiều, một mặt phẳng chia đôi được ba khối; trong không gian n chiều, một siêu phẳng chia đôi được n vật. Arthur Stone và John Tukey chứng minh bản tổng quát này năm 1942.
Bản hai chiều: hai miếng bánh xèo và một con dao xoay
Bản phẳng, đôi khi gọi là "định lý bánh kếp" (pancake theorem), có một lập luận đủ đơn giản để tự kiểm tra bằng tay. Giả sử trên mâm có miếng bánh A và miếng bánh B.
- Chọn một hướng dao. Với mỗi hướng (chẳng hạn hướng Bắc – Nam), đẩy con dao song song theo hướng đó từ trái sang phải. Lúc đầu phần bánh A bên trái dao bằng 0, lúc cuối bằng 100%. Phần bên trái tăng liên tục, nên có một vị trí dao cắt A đúng 50% – 50%.
- Nhìn sang miếng B. Ở vị trí đó, đo xem bao nhiêu phần trăm của B nằm bên trái dao. Gọi con số này là f. Nếu f = 50% thì xong.
- Xoay dao. Nếu chưa xong, xoay hướng dao dần dần, mỗi hướng lại tìm vị trí chia đôi A rồi đo f. Khi xoay đủ 180 độ, con dao nằm lại đúng đường cũ nhưng "trái" và "phải" đã đổi chỗ cho nhau. Lúc đầu B bên trái là, ví dụ, 30% thì bây giờ là 70%.
- Kết luận. f đi liên tục từ 30% lên 70%, nên ở một góc xoay nào đó nó đi qua đúng 50%. Ở góc ấy, nhát dao chia đôi cả A lẫn B.
Lập luận này chỉ dùng định lý giá trị trung gian: một đại lượng biến thiên liên tục đi từ dưới 50% lên trên 50% thì phải chạm đúng 50% ở đâu đó. Định lý không chỉ cho bạn biết vị trí, nhưng nó bảo đảm vị trí ấy có thật, nên ai đi tìm sẽ không tốn công vô ích.
Một ví dụ tính được
Lấy miếng A là hình vuông cạnh 10 cm, đặt góc dưới trái ở toạ độ (0, 0). Miếng B là hình chữ nhật 4 cm × 2 cm, đặt từ (20, 6) đến (24, 8). Mọi đường thẳng đi qua tâm hình vuông (5, 5) đều chia đôi A; mọi đường đi qua tâm hình chữ nhật (22, 7) đều chia đôi B. Vậy đường thẳng nối (5, 5) với (22, 7) chia đôi cả hai, độ dốc 2/17. Với hai hình có tâm đối xứng, đường cắt luôn là đường nối hai tâm; với hình méo mó thì không có công thức gọn như vậy, nhưng đường cắt vẫn tồn tại.
Bản ba chiều và câu hỏi số 123 trong cuốn Sổ Scotland
Ở thành phố Lwów (nay là Lviv) những năm 1930, các nhà toán học Ba Lan hay ngồi ở quán Cà phê Scotland và ghi câu hỏi vào một cuốn sổ dày mà quán giữ hộ, về sau được gọi là Sổ Scotland (Scottish Book). Câu hỏi số 123, do Steinhaus nêu, chính là bài toán chia đôi ba vật thể bằng một mặt phẳng. Banach giải bằng cách quy về một định lý tô-pô vừa được Karol Borsuk công bố năm 1933.
Cách hiểu ý chứng minh, không cần công thức: với mỗi hướng trong không gian (mỗi điểm trên một mặt cầu tưởng tượng), ta đặt mặt phẳng vuông góc với hướng đó sao cho nó chia đôi khối thứ nhất. Rồi ghi lại hai con số: phần trăm của khối thứ hai và khối thứ ba nằm ở "phía trên" mặt phẳng. Hướng đối diện cho cùng mặt phẳng nhưng đảo trên dưới, nên hai con số biến thành 100% trừ đi chúng. Định lý Borsuk–Ulam bảo đảm có một hướng mà cặp số đó bằng đúng cặp số của hướng đối diện, tức là cả hai đều bằng 50%.
Định lý Borsuk–Ulam: hai điểm đối xứng trên Trái Đất
Borsuk–Ulam phát biểu: mọi ánh xạ liên tục từ mặt cầu xuống mặt phẳng đều đưa ít nhất một cặp điểm đối xứng tâm về cùng một chỗ. Cách kể quen thuộc: ở mọi thời điểm, trên bề mặt Trái Đất luôn có hai điểm nằm đối xứng qua tâm (ví dụ một điểm ở Việt Nam và một điểm đâu đó ngoài khơi Nam Mỹ) có cùng nhiệt độ và cùng áp suất khí quyển. Giả định là nhiệt độ và áp suất thay đổi liên tục trên bề mặt, điều khá hợp lý với khí quyển.
Bản một chiều thì kiểm được ngay: đi một vòng quanh xích đạo, luôn có hai điểm đối diện nhau cùng nhiệt độ. Lấy hiệu nhiệt độ giữa một điểm và điểm đối diện của nó; hiệu đó đổi dấu khi bạn đi nửa vòng, nên phải bằng 0 ở đâu đó. Định lý bánh kẹp chính là phiên bản "ba chiều" của mẹo này.
Bản rời rạc: chia đôi hai nhóm điểm
Trong tin học, người ta hay dùng bản đếm điểm thay cho diện tích. Trên mặt phẳng có một số điểm đỏ và một số điểm xanh. Luôn có một đường thẳng mà mỗi bên có không quá một nửa số điểm đỏ và không quá một nửa số điểm xanh (điểm nằm ngay trên đường được phép tính cho bên nào cũng được). Nếu số điểm mỗi màu là chẵn và các điểm ở "vị trí tổng quát", có thể chọn đường không đi qua điểm nào và chia đúng nửa mỗi màu.
| Tình huống | Cần chia đôi | Định lý bảo đảm |
|---|---|---|
| Thửa vườn có cây bưởi rải rác | Diện tích đất và số gốc bưởi | Một đường thẳng chia đôi cả hai |
| Bản đồ một vùng | Số hộ dân và số trường học | Một đường thẳng chia đôi cả hai |
| Đĩa xôi gấc có hạt đậu | Lượng xôi và số hạt đậu | Một nhát dao thẳng đứng chia đôi cả hai |
| Khay thạch có trái cây lơ lửng | Thạch, nhãn, dừa | Một mặt phẳng chia đôi cả ba |
Năm 1994, Chi-Yuan Lo, Jiří Matoušek và William Steiger công bố thuật toán tìm đường chia đôi hai tập điểm trên mặt phẳng trong thời gian tuyến tính, tức là thời gian tính chỉ tăng tỉ lệ với số điểm. Ở số chiều cao, bài toán tìm mặt cắt khó hơn nhiều và vẫn là đề tài nghiên cứu.
Định lý làm được gì, không làm được gì
Làm được
- Chia chính xác cho hai người có khẩu vị khác nhau. Nếu An quý phần nhân thịt, Bình quý phần vỏ giòn, coi "giá trị theo mắt An" và "giá trị theo mắt Bình" là hai đại lượng, định lý cho một nhát cắt thẳng mà cả hai cùng thấy là chia đôi. Không ai còn lý do đòi đổi.
- Chứng minh tồn tại. Nhiều định lý chia công bằng khác, như định lý vòng cổ chia ngọc, được chứng minh cùng một họ ý tưởng tô-pô.
Không làm được
- Không chia được nhiều vật hơn số chiều. Trên mặt phẳng, ba hình tròn rời nhau đặt ở ba đỉnh một tam giác: muốn chia đôi một hình tròn thì đường thẳng phải qua tâm nó, mà ba tâm không thẳng hàng thì không đường nào qua cả ba.
- Không hứa hai nửa liền mạch. Nếu một vật gồm nhiều mảnh rời, mỗi nửa có thể gồm nhiều mảnh vụn.
- Không phải chia ba, chia năm. Định lý nói về chia đôi bằng một nhát. Muốn chia nhiều phần phải dùng nhiều nhát, và các kết quả cho trường hợp đó phức tạp hơn hẳn.
Góc nhìn hôm nay: tự làm thí nghiệm trong bếp
Muốn cảm được định lý, lấy hai miếng bánh tráng cắt thành hình lạ, đặt rời nhau trên tờ giấy kẻ ô. Đếm ô để ước lượng diện tích mỗi miếng. Đặt một cây thước theo một hướng, dịch tới khi nó chia đôi miếng thứ nhất, đếm phần miếng thứ hai bên trái. Xoay thước khoảng 20 độ mỗi lần và ghi lại. Bạn sẽ thấy con số đi từ dưới một nửa lên trên một nửa, và giữa hai lần đo có một góc chia đôi được cả hai.
Người muốn đọc sâu hơn có thể tìm cuốn Using the Borsuk–Ulam Theorem của Jiří Matoušek (2003), viết cho sinh viên, có cả định lý bánh kẹp lẫn định lý vòng cổ chia ngọc. Cuốn The Scottish Book do R. Daniel Mauldin biên tập cho biết các câu hỏi gốc ở quán cà phê Lwów được ghi thế nào.
Câu hỏi thường gặp
Định lý bánh kẹp (ham sandwich) là gì?
Đó là định lý nói rằng ba vật thể bất kỳ trong không gian ba chiều luôn có thể được chia đôi thể tích cùng lúc bằng một mặt phẳng. Trên mặt phẳng, hai hình bất kỳ luôn có một đường thẳng chia đôi diện tích cả hai. Tổng quát, trong n chiều một siêu phẳng chia đôi được n vật.
Ai chứng minh định lý bánh kẹp?
Hugo Steinhaus nêu bài toán năm 1938 trong Sổ Scotland ở Lwów, Stefan Banach chứng minh bằng định lý Borsuk–Ulam. Năm 1942, Arthur Stone và John Tukey chứng minh bản tổng quát cho mọi số chiều và cho các loại "khối lượng" tổng quát hơn thể tích.
Vì sao định lý bánh kẹp chỉ áp dụng cho ba vật trong không gian?
Vì một mặt phẳng chỉ có ba bậc tự do (hai cho hướng, một cho vị trí), vừa đủ đáp ứng ba điều kiện chia đôi. Với bốn vật trở lên, có những cách bố trí không mặt phẳng nào chia đôi được tất cả, ví dụ bốn quả cầu có tâm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Định lý Borsuk–Ulam liên quan gì đến định lý bánh kẹp?
Borsuk–Ulam nói mọi ánh xạ liên tục từ mặt cầu xuống mặt phẳng đều gộp ít nhất một cặp điểm đối xứng về cùng một giá trị. Áp vào bài toán chia vật thể, cặp điểm đó cho ra hướng của mặt phẳng chia đôi cả ba vật. Đây là con đường chứng minh chuẩn của định lý bánh kẹp.
Định lý bánh kẹp có cho biết cách cắt cụ thể không?
Định lý chỉ bảo đảm nhát cắt tồn tại. Với hai hình có tâm đối xứng trên mặt phẳng, đường cắt là đường nối hai tâm. Với tập điểm, có thuật toán tìm đường chia đôi trong thời gian tuyến tính; với hình bất kỳ thì phải dò, ví dụ xoay dao từng chút như lập luận giá trị trung gian.