Định lý pizza nói rằng: chọn một điểm bất kỳ trên chiếc pizza tròn, kể cả điểm lệch xa tâm, cắt 4 nhát thẳng qua điểm đó sao cho các nhát cách nhau đều 45 độ, ta được 8 miếng to nhỏ khác nhau. Hai người lấy xen kẽ (miếng 1, 3, 5, 7 cho người này; 2, 4, 6, 8 cho người kia) thì mỗi người được đúng một nửa. Điều kỳ lạ là kết quả đúng với 8, 12, 16 miếng nhưng sai với 4 hay 6 miếng.
Phát biểu chính xác
Cho một hình tròn và một điểm P bên trong. Kẻ N đường thẳng qua P, các đường cách nhau đều góc 180/N độ. Chúng chia hình tròn thành 2N miếng, đánh số vòng quanh P. Gọi phần chẵn là tổng các miếng số chẵn, phần lẻ là tổng các miếng số lẻ.
- Nếu N là số chẵn từ 4 trở lên (tức 8, 12, 16, 20… miếng): hai phần luôn bằng nhau, dù P ở đâu và các nhát xoay theo hướng nào.
- Nếu N = 2 (4 miếng) hoặc N là số lẻ (2, 6, 10, 14… miếng): hai phần nói chung khác nhau, trừ khi P trùng tâm.
Khi P là tâm thì mọi miếng bằng nhau, chẳng có gì để bàn. Cái hay nằm ở chỗ P lệch tâm: miếng ở phía gần P nhỏ xíu, miếng ở phía xa to gấp mấy lần, vậy mà tổng xen kẽ vẫn khớp từng milimét vuông.
Bảng số cụ thể: pizza 30 cm, điểm cắt lệch tâm 6 cm
Lấy pizza đường kính 30 cm, diện tích khoảng 706,9 cm². Điểm P cách tâm 6 cm (bằng 40% bán kính). Với mỗi số miếng, xoay bộ nhát cắt tới hướng mà hai phần chênh nhau nhiều nhất, rồi tính tổng xen kẽ:
| Số nhát qua P | Số miếng | Phần có chứa tâm pizza | Phần còn lại | Chênh lệch |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 528,5 cm² (74,8%) | 178,4 cm² (25,2%) | Rất lớn |
| 2 | 4 | 389,4 cm² (55,1%) | 317,4 cm² (44,9%) | Khoảng 72 cm² |
| 3 | 6 | 357,1 cm² (50,5%) | 349,7 cm² (49,5%) | Khoảng 7 cm² |
| 4 | 8 | 353,4 cm² (50%) | 353,4 cm² (50%) | Bằng 0 |
| 5 | 10 | khoảng 353,4 cm² | khoảng 353,5 cm² | Dưới 0,1 cm² |
| 6 | 12 | 353,4 cm² (50%) | 353,4 cm² (50%) | Bằng 0 |
Số liệu tính bằng tích phân số, làm tròn tới 0,1 cm². Hai điều đáng để ý. Thứ nhất, với 4 miếng người được phần chứa tâm có thể hơn người kia gần một miếng pizza nhỏ. Thứ hai, với 10 miếng chênh lệch có thật nhưng nhỏ hơn một mẩu vụn, không cân nào đo được; toán học vẫn phân biệt "gần bằng" và "bằng".
Lịch sử: một câu đố trên tạp chí năm 1967
Bài toán xuất hiện năm 1967 trong mục câu đố của tạp chí Mathematics Magazine (Mỹ), do L. J. Upton đề xuất. Michael Goldberg công bố lời giải năm 1968, bằng tính toán hình học khá dài.
Năm 1994, Larry Carter và Stan Wagon đăng trên cùng tạp chí một "chứng minh không lời" (proof without words): chỉ một hình vẽ, trong đó 8 miếng pizza được cắt tiếp thành các mảnh nhỏ hơn, và mỗi mảnh ở phần chẵn có một mảnh giống hệt ở phần lẻ. Nhìn hình, người đọc thấy ngay hai phần ghép được từ cùng một bộ mảnh, nên phải bằng nhau. Đây là một ví dụ đẹp của phép cắt ghép: hai hình bằng nhau về diện tích vì chúng được ghép từ những mảnh giống nhau.
Vì sao 8 được mà 4 không được
Có một cách giải thích bằng tính toán mà học sinh cuối cấp ba theo kịp. Đặt P cách tâm một khoảng d (lấy bán kính pizza bằng 1). Theo mỗi hướng góc t, khoảng cách từ P tới mép bánh là r(t). Một miếng quạt rất hẹp quanh hướng t có diện tích bằng một nửa r(t) bình phương nhân góc. Khai triển r(t) bình phương thành tổng các dao động, ta được ba loại thành phần:
- Một hằng số. Phần này chia đều cho hai người với mọi số miếng, giống như khi cắt qua tâm.
- Một dao động d² cos(2t). Khi lấy tổng xen kẽ, thành phần này bị triệt tiêu với mọi N, trừ đúng N = 2. Lúc đó mỗi miếng rộng 90 độ, đúng nửa chu kỳ của cos(2t): phần chẵn hứng trọn các đỉnh dương, phần lẻ hứng các đáy âm. Đó là thủ phạm làm phần chia 4 miếng lệch nhau tới 10 điểm phần trăm.
- Các dao động "lẻ" cos(t), cos(3t), cos(5t)… Tổng xen kẽ của 2N miếng chỉ giữ lại những dao động có tần số là bội lẻ của N. Nếu N chẵn, không số lẻ nào là bội của N, nên tất cả triệt tiêu. Nếu N lẻ, các dao động cos(Nt), cos(3Nt)… sống sót.
Ghép lại: N chẵn từ 4 trở lên thì mọi thành phần lệch đều biến mất, hai phần bằng nhau. N lẻ thì còn sót dao động tần số N. Biên độ các dao động này nhỏ đi rất nhanh khi tần số tăng, nên 6 miếng còn chênh 7 cm², còn 10 miếng chỉ chênh chưa tới 0,1 cm², đúng như bảng trên.
Ai được nhiều hơn khi số nhát lẻ
Câu hỏi này được gọi là "giả thuyết pizza" và được Rick Mabry cùng Paul Deiermann giải trọn vẹn trong bài báo năm 2009 trên tạp chí American Mathematical Monthly, tựa đề vui Of Cheese and Crust (Về phô mai và vỏ bánh). Kết quả: với N chia 4 dư 3 (6, 14, 22… miếng), phần chứa tâm pizza được nhiều hơn; với N chia 4 dư 1 và N từ 5 trở lên (10, 18, 26… miếng), phần chứa tâm lại được ít hơn. Bảng trên khớp đúng: 6 miếng thì phần chứa tâm hơn, 10 miếng thì kém một chút.
Vỏ bánh và nhân phủ
Người ăn pizza không chỉ quan tâm diện tích. Hai câu hỏi hay gặp:
- Vỏ bánh (phần viền). Viền được chia đều cho hai người khi số nhát N là số chẵn, kể cả N = 2. Nghĩa là với 4 miếng cắt lệch tâm, hai người được bằng nhau phần viền nhưng không bằng nhau phần bánh. Với N lẻ, viền cũng lệch.
- Nhân phủ hình tròn. Nếu nhân phủ là một hình tròn nhỏ hơn nằm bất kỳ đâu trên bánh nhưng chứa điểm P, với 8, 12, 16 miếng mỗi người được một nửa nhân phủ, vì có thể áp định lý cho chính hình tròn nhỏ đó. Nếu nhân phủ không chứa P, kết luận không còn chắc.
Một bài toán khác cùng tên: lấy pizza xen kẽ của Winkler
Đừng nhầm với "bài toán pizza" do Peter Winkler phổ biến. Ở đó pizza đã được cắt sẵn thành nhiều miếng quạt to nhỏ tuỳ ý. Người thứ nhất lấy một miếng bất kỳ, sau đó hai người thay phiên, mỗi lần chỉ được lấy một miếng nằm sát phần đã bị lấy (để phần còn lại luôn liền một dải). Hỏi người đi trước bảo đảm được bao nhiêu?
Câu trả lời, được hai nhóm nghiên cứu chứng minh độc lập quanh năm 2009–2010: người đi trước luôn có cách lấy ít nhất 4/9 chiếc pizza, và có những cách cắt sẵn mà người đi sau giữ được đúng 5/9. Nghĩa là đi trước chưa chắc đã lợi, nhưng không bao giờ thua quá đậm.
Góc nhìn hôm nay: dùng định lý khi ăn thật
- Hai người, pizza cắt lệch: nếu tiệm cắt 8 miếng mà nhát nào cũng đi qua một điểm lệch tâm (thường thấy khi người cắt vội), cứ lấy xen kẽ. Phần ai cũng như nhau.
- Đừng làm thế với 4 hay 6 miếng. Lúc đó nên cắt lại hoặc chia theo kiểu khác.
- Ba, bốn người: đã có những kết quả tổng quát cho việc chia xen kẽ theo chu kỳ cho nhiều người, nhưng điều kiện về số nhát chặt hơn hẳn. Khi ăn thật, đơn giản nhất là cắt qua đúng tâm.
- Thực tế: nhát cắt tay không bao giờ cách đều đúng 45 độ, nên sai số tay nghề lớn hơn nhiều so với cái lợi của định lý. Giá trị của nó là một bất ngờ đẹp, không phải dụng cụ chia đồ ăn.
Người muốn tự kiểm có thể vẽ một hình tròn bán kính 10 cm trên giấy kẻ ô milimét, chọn P cách tâm 4 cm, kẻ 4 đường qua P cách nhau 45 độ, rồi đếm ô. Với chút kiên nhẫn, hai tổng xen kẽ sẽ khớp trong sai số đếm.
Câu hỏi thường gặp
Định lý pizza là gì?
Định lý pizza nói rằng nếu cắt pizza tròn bằng 4 nhát thẳng đi qua cùng một điểm bất kỳ, các nhát cách nhau 45 độ, thì 8 miếng tạo thành chia được thành hai phần bằng nhau bằng cách lấy xen kẽ. Kết quả cũng đúng với 12, 16, 20… miếng, nhưng không đúng với 4, 6, 10 miếng.
Vì sao cắt pizza 4 miếng lệch tâm thì không chia đều được?
Với 2 nhát vuông góc qua điểm lệch tâm, mỗi miếng rộng 90 độ nên không triệt tiêu được thành phần dao động của bán kính theo góc. Với pizza 30 cm và điểm cắt lệch 6 cm, một người có thể được khoảng 55% còn người kia 45%. Phần viền thì vẫn chia đều.
Ai chứng minh định lý pizza?
Bài toán do L. J. Upton đặt ra năm 1967 trên tạp chí Mathematics Magazine, Michael Goldberg giải năm 1968. Năm 1994, Larry Carter và Stan Wagon đưa ra chứng minh không lời bằng cắt ghép. Năm 2009, Rick Mabry và Paul Deiermann giải trường hợp số nhát lẻ.
Khi số miếng không phải bội của 4, ai được nhiều hơn?
Theo Mabry và Deiermann, với 6, 14, 22… miếng thì phần xen kẽ chứa tâm pizza lớn hơn; với 10, 18, 26… miếng thì phần chứa tâm nhỏ hơn. Với 4 miếng, phần nào lớn hơn tuỳ hướng xoay của hai nhát cắt.
Bài toán pizza 4/9 là gì?
Đó là bài toán của Peter Winkler: pizza cắt sẵn nhiều miếng to nhỏ, hai người thay phiên lấy miếng nằm sát phần đã lấy. Người đi trước luôn bảo đảm được ít nhất 4/9 chiếc bánh, và con số này không thể tốt hơn. Kết quả được chứng minh quanh năm 2009–2010.