Chia tiền không chẵn: xử lý số lẻ khi chia đều cho cả nhóm

Khi chia tiền không chẵn, ví dụ 1.000.000 đồng cho ba người, mỗi phần là 333.333,33 đồng và không thể trả đúng. Cách gọn nhất: làm tròn xuống về nghìn đồng cho tất cả, tính phần còn thiếu, rồi giao từng nghìn còn thiếu cho những người có phần lẻ lớn nhất; nếu phần lẻ bằng nhau thì người trả hoá đơn chịu hoặc luân phiên. Như vậy tổng luôn khớp và không ai lệch quá một nghìn đồng.

Vì sao số lẻ là chuyện toán học, không chỉ chuyện tiền lẻ

Chia đều một số nguyên cho n người chỉ ra số nguyên khi số đó chia hết cho n. Tiền Việt Nam còn thêm một ràng buộc: trên thực tế, đơn vị nhỏ nhất dùng hằng ngày là 1.000 đồng (tờ 500 đồng và các mệnh giá nhỏ hơn hầu như không còn lưu thông trong mua bán thường ngày). Vậy thật ra ta đang chia một số "nghìn đồng" nguyên, và 1.000 nghìn đồng chia 3 dư 1. Phần dư ấy phải thuộc về ai đó.

Chuyển khoản thì trả được tới từng đồng, nhưng một lệnh chuyển 333.333 đồng vẫn không giải quyết được gốc vấn đề: ba lệnh như vậy cộng ra 999.999 đồng, còn thiếu đúng một đồng. Phép chia có dư không biến mất chỉ vì đổi phương tiện thanh toán.

Bốn cách xử lý phần dư khi chia đều

Với nhóm bạn, cách một và cách hai đều ổn vì lệch rất nhỏ. Cách ba là cách duy nhất khớp tuyệt đối mà không cần ai "ôm" phần chênh. Chọn ai trả phần lẻ có thể bốc thăm, luân phiên giữa các lần, hoặc giao cho người vừa được hưởng phần lẻ lần trước. Về kỳ vọng toán học, bốc thăm ngẫu nhiên qua nhiều lần đi ăn thì mỗi người trả phần lẻ số lần xấp xỉ như nhau.

Khi các phần không đều: phương pháp phần dư lớn nhất

Khó hơn là khi mỗi người một số tiền khác nhau, ví dụ sau khi chia hoá đơn theo món, bốn người phải trả: 261.376; 355.472; 261.376; 303.196 đồng. Tổng 1.181.420 đồng. Làm tròn từng số về nghìn gần nhất: 261.000; 355.000; 261.000; 303.000, cộng 1.180.000, thiếu 1.420 đồng.

Cách hệ thống: làm tròn xuống tất cả, tính số nghìn còn thiếu, rồi cộng thêm 1.000 lần lượt cho những người có phần lẻ (phần sau dấu nghìn) lớn nhất.

Tổng phần lẻ là 1.420 đồng, tức một nghìn trọn và 420 đồng. Nếu cần thu đúng tới nghìn (1.181.000) thì cộng một nghìn cho Minh, người có phần lẻ lớn nhất. 420 đồng còn lại không chia được bằng tiền giấy; người trả hoá đơn chịu, hoặc nhóm thống nhất làm tròn tổng lên 1.182.000 và cộng thêm một nghìn cho người có phần lẻ lớn thứ hai (Lan hoặc Nga, hai người bằng nhau thì bốc thăm).

Đây chính là ý tưởng của phương pháp phần dư lớn nhất mà nhà chính trị Mỹ Alexander Hamilton đề xuất năm 1792 để chia ghế Hạ viện theo dân số các bang. Bài toán chia ghế và bài toán chia tiền lẻ giống nhau ở chỗ: số chính xác là phân số, kết quả bắt buộc là số nguyên, và tổng phải giữ nguyên.

Nghịch lý nhỏ: tổng các số đã làm tròn khác số tổng đã làm tròn

Nhiều người ngạc nhiên khi làm tròn từng phần rồi cộng lại không ra tổng đã làm tròn. Ví dụ ba khoản 1.400, 1.400, 1.400 đồng. Tổng chính xác 4.200, làm tròn về nghìn là 4.000. Làm tròn từng khoản: 1.000 + 1.000 + 1.000 = 3.000. Chênh tới 1.000 đồng.

Lý do: mỗi lần làm tròn sinh ra một sai số tối đa nửa đơn vị (500 đồng). Với n phần, sai số cộng dồn có thể lên tới n × 500 đồng nếu các sai số cùng chiều. Mười người, mỗi người làm tròn xuống 400 đồng, nhóm thiếu 4.000 đồng. Khi các phần lẻ phân bố ngẫu nhiên thì sai số thường triệt tiêu một phần, nhưng không có gì bảo đảm. Phương pháp phần dư lớn nhất ở trên tồn tại chính là để chặn hiện tượng này: nó ép tổng các phần làm tròn bằng đúng tổng.

Chọn đơn vị làm tròn: nghìn, năm nghìn hay mười nghìn

Trả tiền mặt cho tiện thì nhiều nhóm làm tròn tới 5.000 hoặc 10.000. Đổi lại, sai lệch mỗi người lớn hơn:

Với bữa ăn vài trăm nghìn, làm tròn mười nghìn đã là lệch đáng kể so với phần của mỗi người. Với chuyến đi vài triệu, lệch 5.000 đồng chẳng ai để ý. Quy tắc nhẩm: đơn vị làm tròn nên nhỏ hơn khoảng 1–2% phần của mỗi người.

Mẹo chọn tổng chia hết

Khi góp quỹ hay góp quà, có thể chọn tổng sao cho chia hết ngay từ đầu. Bảy người góp mua quà, thay vì nhắm món 2.400.000 (chia 7 lẻ), chọn món khoảng 2.450.000 để mỗi người đúng 350.000. Nhóm 12 người rất tiện: 12 chia hết cho 2, 3, 4, 6, nên các tổng tròn trăm nghìn như 1.200.000 hay 3.600.000 đều cho phần chẵn.

Phần lẻ cộng dồn qua nhiều lần

Nhóm đi ăn hằng tuần, mỗi lần người trả hoá đơn chịu vài trăm đến một nghìn đồng lẻ. Một năm 50 lần, nếu luôn là một người trả thì người đó chịu tổng cộng khoảng vài chục nghìn đồng. Không lớn, nhưng là lý do hợp lý để luân phiên người trả, hoặc ghi phần lẻ vào sổ số dư chung thay vì bỏ qua. Ghi vào sổ thì phần lẻ chẳng còn là vấn đề nữa: nó cộng dồn như mọi khoản khác và được thanh toán khi quyết toán.

Góc nhìn hôm nay: làm tròn đúng trong bảng tính

Trong bảng tính, hàm ROUNDDOWN(x; -3) làm tròn xuống tới nghìn, ROUND(x; -3) làm tròn gần nhất, MROUND(x; 5000) làm tròn tới bội của 5.000 (dấu phân cách đối số tuỳ cài đặt vùng, có máy dùng dấu phẩy). Muốn chia khớp tổng, dựng thêm cột phần lẻ = x − ROUNDDOWN(x; -3), xếp hạng cột này bằng hàm RANK, rồi cộng 1.000 cho những người có thứ hạng nằm trong số nghìn còn thiếu. Ai muốn tìm hiểu thêm về làm tròn kiểu ngân hàng (làm tròn số 5 về số chẵn gần nhất) có thể đọc thêm, nhưng với chia tiền nhóm thì hiếm khi cần đến.