Chia một khối ba chiều thành các phần thể tích bằng nhau bằng những nhát cắt song song thì độ dày các lát chỉ bằng nhau khi khối có tiết diện không đổi, như khối hộp hay hình trụ. Với quả cầu, khối nón, kim tự tháp, lát ở chỗ phình phải mỏng hơn lát ở chỗ nhọn: quả dưa hấu đường kính 20 cm chia 3 lát ngang bằng nhau thì lát giữa chỉ dày khoảng 4,5 cm, hai lát đầu dày khoảng 7,7 cm. Bài này đưa ra các con số tính sẵn và cách tự tính.
Luật chung: thể tích là diện tích tiết diện cộng dồn
Cắt một khối thành những lát rất mỏng song song nhau, thể tích là tổng "diện tích tiết diện nhân độ dày" của các lát. Nhà toán học Ý Bonaventura Cavalieri phát biểu ý này năm 1635: hai khối có mọi tiết diện ở cùng độ cao bằng nhau thì thể tích bằng nhau. Hệ quả cho việc chia:
- Tiết diện không đổi (khối hộp, hình trụ, lăng trụ, khúc bánh mì sandwich, đòn bánh tét): lát dày bằng nhau thì thể tích bằng nhau.
- Tiết diện thay đổi (quả cầu, khối nón, kim tự tháp, ổ bánh mì phình giữa): muốn thể tích bằng nhau phải đổi độ dày, chỗ tiết diện lớn thì cắt mỏng.
Quả dưa hấu: chia lát ngang bằng nhau
Coi quả dưa là hình cầu bán kính R. Một "chỏm cầu" cao h (phần bị cắt ra ở một đầu bởi một nhát phẳng) có thể tích bằng π × h² × (3R − h) / 3. Cả quả có thể tích 4πR³/3. Đặt chỏm bằng một phần ba hay một phần tư thể tích rồi giải phương trình bậc ba, ra các vị trí cắt sau, tính cho quả đường kính 20 cm (R = 10 cm), đo từ một đầu quả:
| Số lát | Vị trí các nhát (cm từ đầu quả) | Độ dày từng lát (cm) |
|---|---|---|
| 2 | 10 | 10 – 10 |
| 3 | 7,74 và 12,26 | 7,74 – 4,52 – 7,74 |
| 4 | 6,53; 10 và 13,47 | 6,53 – 3,47 – 3,47 – 6,53 |
Kiểm lát giữa khi chia 3: lát này nằm từ 2,26 cm trái tâm tới 2,26 cm phải tâm. Thể tích của nó, tính theo công thức tích phân, khoảng 0,4445 × π × 10³ ≈ 1.396 cm³, còn một phần ba quả là 4π × 1.000 / 9 ≈ 1.396 cm³. Khớp. Với quả lớn hơn hay nhỏ hơn, chỉ cần nhân các con số trong bảng theo tỉ lệ đường kính: quả 30 cm chia 3 thì cắt ở 11,6 cm và 18,4 cm.
Trên thực tế, chia dưa hấu theo kiểu bổ dọc như múi cam (các nhát đi qua trục quả) mới là cách cho các miếng bằng nhau dễ nhất: mọi múi có cùng góc ở trục thì cùng thể tích, giống cắt bánh tròn từ tâm. Cắt khoanh ngang chỉ cần khi muốn khoanh tròn để bày đĩa.
Khối nón và kim tự tháp: căn bậc ba
Khối nón và hình chóp có một tính chất đẹp: phần chóp nhỏ cắt ra ở đỉnh đồng dạng với cả khối. Nếu chóp nhỏ cao bằng tỉ lệ t của chiều cao, thể tích của nó bằng t³ (t mũ ba) lần thể tích cả khối. Muốn chóp nhỏ bằng một nửa thì t bằng căn bậc ba của 1/2, khoảng 0,794.
| Chia thành | Vị trí nhát cắt tính từ đỉnh (theo % chiều cao) | Với nón cao 30 cm |
|---|---|---|
| 2 phần | 79,4% | Cắt ở 23,8 cm từ đỉnh; phần đáy chỉ dày 6,2 cm |
| 3 phần | 69,3% và 87,4% | Cắt ở 20,8 cm và 26,2 cm; lớp đáy dày 3,8 cm |
| 4 phần | 63%, 79,4% và 90,9% | Lớp đáy dày khoảng 2,7 cm |
Ứng dụng ngay trong bếp: ly kem ốc quế hay ly cocktail hình nón đổ đầy tới một nửa chiều cao thì chỉ chứa một phần tám dung tích (0,5³ = 0,125). Muốn rót được một nửa ly, phải rót tới khoảng 79% chiều cao. Đống cát, đống thóc đổ thành hình nón cũng vậy: lấy đi phần chóp trên cao một nửa chiều cao đống thì mới chỉ lấy một phần tám lượng thóc.
Khối lập phương: 27 khối nhỏ cần mấy nhát
Một câu đố quen: khối gỗ lập phương cạnh 3 dm, muốn cắt thành 27 khối nhỏ cạnh 1 dm. Không xếp chồng thì cần 6 nhát: hai nhát cho mỗi chiều. Câu hỏi là: nếu được nhấc các mảnh lên xếp chồng lại giữa các nhát, có giảm được dưới 6 nhát không?
Câu trả lời là không, và lý do rất gọn: khối nhỏ nằm chính giữa không có mặt nào lộ ra ngoài lúc đầu. Cả 6 mặt của nó đều phải được tạo ra bởi các nhát cắt, và một nhát phẳng chỉ tạo được nhiều nhất một mặt cho mỗi mảnh. Vậy cần ít nhất 6 nhát.
Ngược lại, với khối 4 × 4 × 4 (64 khối nhỏ), xếp chồng lại giúp ích: mỗi chiều chỉ cần 2 nhát (cắt đôi, xếp hai nửa cạnh nhau, cắt đôi lần nữa), tổng 6 nhát thay vì 9. Công thức chung: chia n phần theo một chiều mà được xếp chồng thì cần số nhát bằng số lần nhân đôi để vượt n, tức log cơ số 2 của n làm tròn lên.
| Lưới khối nhỏ | Không xếp chồng | Được xếp chồng |
|---|---|---|
| 2 × 2 × 2 | 3 | 3 |
| 3 × 3 × 3 | 6 | 6 |
| 4 × 4 × 4 | 9 | 6 |
| 8 × 8 × 8 | 21 | 9 |
Chia lập phương thành các hình chóp bằng nhau
Có hai phép chia lập phương rất đáng biết, vì chúng "nhìn thấy" được công thức thể tích hình chóp bằng một phần ba đáy nhân cao:
- Sáu hình chóp từ tâm: nối tâm lập phương với 8 đỉnh, được 6 hình chóp đáy vuông giống hệt nhau, mỗi cái lấy một mặt làm đáy và có chiều cao bằng nửa cạnh. Mỗi hình chóp chiếm 1/6 khối.
- Ba hình chóp từ một đỉnh: chọn một đỉnh, nối nó với ba mặt không chứa nó. Được 3 hình chóp đáy vuông giống hệt nhau (đáy là một mặt, chiều cao bằng cả cạnh). Mỗi cái chiếm 1/3 khối, đúng bằng một phần ba đáy nhân cao.
Có thể làm mô hình bằng bìa cứng: ba hình chóp cạnh đáy 6 cm, cao 6 cm, đỉnh nằm thẳng trên một góc đáy, ghép lại thành lập phương 6 cm. Ngoài ra, lập phương có thể chia thành ít nhất 5 tứ diện (bốn tứ diện ở góc và một tứ diện đều ở giữa), không thể ít hơn.
Còn câu hỏi "khối đa diện cùng thể tích có cắt ghép được thành nhau không" thì sang ba chiều câu trả lời là không phải lúc nào cũng được: hình lập phương và tứ diện đều cùng thể tích không cắt ghép thành nhau được, như Max Dehn chứng minh năm 1900.
Khối méo mó: dùng nước hoặc cân
Với khối không có công thức, như khoanh giò, tảng thịt, cục bột, cách đơn giản nhất là đo bằng vật lý:
- Cân: nếu vật đặc đều, khối lượng tỉ lệ với thể tích. Cắt một lát, đặt lên cân, so với tổng khối lượng chia số phần, gọt thêm hoặc bớt.
- Nước tràn: nhúng từng phần vào bình chia vạch, đọc thể tích nước dâng lên. Đây là cách Archimedes được kể là dùng để kiểm tra vương miện, dù chi tiết câu chuyện đó là giai thoại hơn là sử liệu.
- Cắt dần: đặt dao ở vị trí đoán, cân phần cắt ra, điều chỉnh. Hai, ba lần là sai số dưới 5%.
Góc nhìn hôm nay: tự kiểm trong bếp
- Lấy một ly hình nón (ly martini), đánh dấu ở 50% và 79% chiều cao. Rót nước tới vạch 50%, đổ sang ly hình trụ; rồi rót tới vạch 79%. Bạn sẽ thấy lần thứ hai nhiều gấp khoảng bốn lần lần thứ nhất (0,5 so với 0,125).
- Khi bổ dưa, cam, bưởi để chia đều, hãy bổ múi qua trục thay vì khoanh ngang.
- Khi cắt bánh mì ổ dài phình giữa cho nhiều người, các lát ở hai đầu nên dày hơn lát ở giữa.
Câu hỏi thường gặp
Cắt quả dưa hấu thành 3 lát ngang bằng nhau thế nào?
Với quả đường kính 20 cm, cắt ở 7,74 cm và 12,26 cm tính từ một đầu, tức mỗi nhát cách tâm khoảng 2,26 cm. Lát giữa dày khoảng 4,5 cm, hai lát đầu dày khoảng 7,7 cm. Quả cỡ khác thì nhân theo tỉ lệ đường kính. Muốn đơn giản hơn, bổ dọc thành múi qua trục quả.
Rót nửa ly hình nón phải rót đến đâu?
Phải rót tới khoảng 79% chiều cao ly, vì thể tích phần nón tỉ lệ với lập phương của chiều cao. Rót tới nửa chiều cao chỉ được một phần tám dung tích ly.
Cắt khối lập phương thành 27 khối nhỏ cần ít nhất mấy nhát?
Cần ít nhất 6 nhát, kể cả khi được xếp chồng các mảnh giữa các lần cắt. Khối nhỏ ở chính giữa có 6 mặt đều phải do nhát cắt tạo ra, và mỗi nhát chỉ tạo được một mặt cho nó.
Vì sao thể tích hình chóp bằng một phần ba đáy nhân cao?
Một hình lập phương có thể chia thành 3 hình chóp đáy vuông giống hệt nhau, chung một đỉnh, mỗi cái có đáy là một mặt và chiều cao bằng cạnh. Mỗi hình chóp vì thế chiếm đúng một phần ba khối lập phương, tức một phần ba đáy nhân cao.
Chia khối hình nón thành 2 phần thể tích bằng nhau cắt ở đâu?
Cắt song song với đáy ở vị trí cách đỉnh khoảng 79,4% chiều cao, tức căn bậc ba của một nửa. Với nón cao 30 cm, nhát cắt nằm ở 23,8 cm từ đỉnh, phần sát đáy chỉ dày 6,2 cm mà chứa một nửa thể tích.