Một hình vuông có thể chia thành nhiều hình vuông nhỏ, đôi một khác cỡ, không chừa khe hở, không chồng lên nhau. Cách ít mảnh nhất dùng đúng 21 hình vuông, ghép thành hình vuông cạnh 112, do A. J. W. Duijvestijn tìm ra bằng máy tính năm 1978. Bài toán này gọi là "bình phương hình vuông" (squaring the square), và lời giải đầu tiên lại đến từ một ý tưởng bất ngờ: coi hình vẽ như một mạch điện.
Bài toán phát biểu thế nào
Cho một hình vuông. Hãy chia nó thành các hình vuông nhỏ hơn, cạnh là số nguyên, và không có hai hình vuông nhỏ nào bằng nhau. Người ta gọi lời giải là một hình vuông "hoàn hảo" (perfect). Nếu trong lời giải không có nhóm hình vuông con nào tự ghép thành một hình chữ nhật nhỏ hơn, lời giải được gọi là "đơn" (simple); ngược lại là "phức" (compound).
Cho phép trùng cỡ thì bài toán tầm thường: hình vuông cạnh 2 chia thành 4 hình vuông cạnh 1. Đòi khác cỡ hết mới khó. Thử bằng tay sẽ thấy ngay vấn đề: đặt hình vuông lớn nhất vào một góc, các khe còn lại bắt đầu đòi những kích thước rất cụ thể, và chỉ cần lệch một đơn vị là cả hình sụp.
Bước đệm: hình chữ nhật 33 × 32 của Moroń
Năm 1925, nhà toán học Ba Lan Zbigniew Moroń công bố một hình chữ nhật 33 × 32 được chia thành 9 hình vuông khác cỡ, cạnh lần lượt 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 và 18. Kiểm diện tích bằng tay:
| Cạnh | 1 | 4 | 7 | 8 | 9 | 10 | 14 | 15 | 18 | Tổng |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Diện tích | 1 | 16 | 49 | 64 | 81 | 100 | 196 | 225 | 324 | 1.056 |
Và 33 × 32 = 1.056. Khớp. Cách xếp: hai hình vuông 18 và 15 nằm cạnh nhau ở đáy (18 + 15 = 33, đúng chiều rộng). Phía trên hình 15 là hình 7 và 8 (7 + 8 = 15). Phía trên hình 18 là hình 14 và hình 4 (14 + 4 = 18), và cứ thế, mỗi cạnh trên của một nhóm lại khớp đúng tổng cạnh của nhóm phía trên. Hình vuông cạnh 1 nằm lọt ở chỗ hẹp nhất giữa các hình 7, 8, 9, 10. Moroń cũng tìm ra hình chữ nhật 65 × 47 với 10 hình vuông khác cỡ.
Hình chữ nhật thì đã làm được với 9 mảnh. Nhưng hình vuông khó hơn hẳn, vì đòi hai cạnh bằng nhau là thêm một ràng buộc rất chặt.
Bốn sinh viên Cambridge và mạch điện
Cuối thập niên 1930, bốn sinh viên trường Trinity, Đại học Cambridge, là Rowland Brooks, Cedric Smith, Arthur Stone và William Tutte, cùng mày mò bài toán. Họ nhận ra một sự tương ứng tuyệt đẹp giữa hình chữ nhật chia thành hình vuông và mạch điện gồm các điện trở 1 ôm:
- Mỗi hình vuông là một điện trở 1 ôm.
- Mỗi đoạn nằm ngang trong hình (cạnh trên hoặc dưới chung của các hình vuông) là một nút mạch, có "điện thế" bằng độ cao của đoạn đó.
- Dòng điện chạy qua một điện trở bằng cạnh của hình vuông tương ứng; hiệu điện thế cũng bằng cạnh đó, đúng với định luật Ohm khi điện trở là 1.
- Định luật Kirchhoff về dòng điện (tổng dòng vào một nút bằng tổng dòng ra) chính là điều kiện "chiều rộng các hình vuông nằm trên một đoạn ngang bằng chiều rộng các hình vuông nằm dưới nó".
Như vậy, tìm hình chữ nhật chia thành hình vuông quy về tìm mạch điện, rồi giải hệ phương trình Kirchhoff. Hình chữ nhật là hình vuông khi điện trở tương đương của cả mạch bằng đúng 1. Họ công bố bài báo "The dissection of rectangles into squares" trên tạp chí Duke Mathematical Journal năm 1940. Tutte sau này trở thành một trong những nhà lý thuyết đồ thị lớn nhất thế kỷ 20, và trong chiến tranh ông góp phần lớn vào việc phá mật mã Lorenz ở Bletchley Park.
Những kỷ lục theo thời gian
| Năm | Người tìm | Số hình vuông | Cạnh hình lớn | Loại |
|---|---|---|---|---|
| 1939 | Roland Sprague | 55 | 4.205 | Hình vuông hoàn hảo đầu tiên được công bố, phức |
| 1940 | Brooks, Smith, Stone, Tutte | nhiều lời giải | — | Phương pháp mạch điện, tìm có hệ thống |
| 1948 | T. H. Willcocks | 24 | 175 | Phức, kỷ lục ít mảnh nhất cho loại phức |
| 1978 | A. J. W. Duijvestijn | 21 | 112 | Đơn, ít mảnh nhất có thể, và là duy nhất |
Sprague, nhà toán học Đức, công bố lời giải 55 mảnh năm 1939, ghép từ các hình chữ nhật đã chia sẵn. Duijvestijn dùng máy tính duyệt có hệ thống mọi mạch điện tới một độ phức tạp nhất định, chứng minh rằng không có lời giải nào dưới 21 mảnh, và lời giải 21 mảnh là duy nhất (không kể xoay, lật).
Bộ 21 hình vuông của Duijvestijn
Cạnh các hình vuông: 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 24, 25, 27, 29, 33, 35, 37, 42, 50. Tổng diện tích: 4 + 16 + 36 + 49 + 64 + 81 + 121 + 225 + 256 + 289 + 324 + 361 + 576 + 625 + 729 + 841 + 1.089 + 1.225 + 1.369 + 1.764 + 2.500 = 12.544, đúng bằng 112 × 112. Ở cạnh trên, hai hình 50 và 35 cùng hình 27 xếp liền nhau: 50 + 35 + 27 = 112. Hội Toán học Trinity ở Cambridge dùng một hình vuông chia thành hình vuông làm biểu tượng, như một lời ghi công cho bốn sinh viên năm xưa.
Vì sao không thể "lập phương hoá" khối lập phương
Một câu hỏi tự nhiên: có chia được khối lập phương thành các khối lập phương nhỏ đôi một khác cỡ không? Câu trả lời là không, và lý lẽ ngắn đến bất ngờ:
- Giả sử làm được. Nhìn mặt đáy: các khối đặt trên đáy tạo thành một cách chia hình vuông đáy thành hình vuông khác cỡ.
- Trong cách chia hình vuông đó, hình vuông nhỏ nhất không thể nằm ở mép (dễ kiểm: nằm ở mép thì các hình bên cạnh lớn hơn sẽ "tràn" và chặn mất chỗ). Vậy nó nằm lọt giữa, bị bốn hình lớn hơn vây quanh.
- Khối lập phương nhỏ nhất trên đáy vì thế nằm trong một cái "giếng": bốn khối xung quanh đều cao hơn nó. Mặt trên của nó lại phải được phủ bằng các khối nhỏ hơn nó, khác cỡ nhau.
- Lặp lại lập luận cho mặt trên đó, ta được một khối còn nhỏ hơn, rồi nhỏ hơn nữa, mãi mãi. Nhưng số khối là hữu hạn. Mâu thuẫn.
Lập luận kiểu "lùi vô hạn" này cũng cho thấy không có khối hộp chữ nhật nào chia được thành khối lập phương khác cỡ.
Những bài toán anh em
- Chăn của bà Perkins: cho phép trùng cỡ nhưng ước chung lớn nhất của tất cả các cạnh phải bằng 1, hỏi chia hình vuông cạnh n thành ít hình vuông nhất. Bài này do Dudeney đặt ra với hình vuông cạnh 13.
- Định lý Dehn năm 1903: một hình chữ nhật chia được thành hữu hạn hình vuông (cỡ tuỳ ý) khi và chỉ khi tỉ số hai cạnh là số hữu tỉ. Hình chữ nhật 1 × căn 2 thì chịu, dù dùng bao nhiêu hình vuông.
- Chia hình vuông thành n hình vuông (cho trùng cỡ): làm được với mọi n từ 6 trở lên, cùng n = 1 và n = 4; không làm được với n = 2, 3, 5.
Góc nhìn hôm nay: tự cắt hình 33 × 32
Cách tốt nhất để cảm bài toán là cầm kéo. Kẻ một hình chữ nhật 33 × 32 ô trên giấy kẻ ô vuông 5 mm, vẽ 9 hình vuông của Moroń rồi cắt ra, xáo trộn và thử ghép lại. Đa số người lớn mất 10 đến 20 phút. Muốn khó hơn, làm bộ 21 mảnh của Duijvestijn bằng bìa cứng với đơn vị 2 mm, hình lớn cạnh 22,4 cm, vừa một trang giấy A4. Nhiều bộ ghép gỗ bán ngoài thị trường cũng dựng theo đúng bộ số này.
Người muốn đọc thêm có thể tìm bài báo năm 1940 của Brooks, Smith, Stone và Tutte, hoặc chương về hình vuông hoàn hảo trong các tuyển tập toán vui của Martin Gardner.
Câu hỏi thường gặp
Chia hình vuông thành các hình vuông khác nhau cần ít nhất bao nhiêu hình?
Cần ít nhất 21 hình vuông đôi một khác cỡ. Lời giải 21 mảnh tạo thành hình vuông cạnh 112, do Duijvestijn tìm ra bằng máy tính năm 1978, và đã được chứng minh là duy nhất. Hình vuông nhỏ nhất trong bộ có cạnh 2, lớn nhất cạnh 50.
Ai giải bài toán bình phương hình vuông đầu tiên?
Roland Sprague công bố hình vuông hoàn hảo đầu tiên năm 1939, gồm 55 hình vuông. Gần như cùng lúc, bốn sinh viên Cambridge là Brooks, Smith, Stone và Tutte phát triển phương pháp mạch điện, công bố năm 1940, cho phép tìm lời giải có hệ thống.
Mạch điện liên quan gì đến chia hình vuông?
Mỗi hình vuông được coi là một điện trở 1 ôm, cạnh của nó là dòng điện chạy qua. Định luật Kirchhoff tương ứng với điều kiện các hình vuông khớp chiều rộng tại mỗi đường ngang. Giải mạch điện cho ra kích thước các hình vuông, và hình chữ nhật là hình vuông khi điện trở tương đương bằng 1.
Có chia được khối lập phương thành khối lập phương khác cỡ không?
Không. Khối nhỏ nhất ở đáy luôn bị các khối lớn hơn vây quanh, nên mặt trên của nó phải phủ bằng các khối còn nhỏ hơn, cứ thế mãi không dừng. Vì số khối hữu hạn, điều này mâu thuẫn, nên không có cách chia như vậy.
Hình chữ nhật 33 × 32 chia thành hình vuông thế nào?
Moroń năm 1925 chia nó thành 9 hình vuông cạnh 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 và 18. Hai hình 18 và 15 nằm ở đáy, các hình còn lại xếp lên trên sao cho mỗi tầng khớp tổng chiều rộng. Tổng diện tích 1.056 đúng bằng 33 × 32.