Chỉ số Shapley–Shubik đo quyền lực biểu quyết bằng cách xếp các thành viên theo mọi thứ tự có thể, lần lượt cộng phiếu, và đếm xem mỗi người là "người chốt" (người đưa tổng vượt ngưỡng) trong bao nhiêu phần trăm số thứ tự. Áp vào đại hội cổ đông, nó cho thấy những điều ngược trực giác: ba cổ đông 45%, 35% và 20% có quyền lực ngang nhau; cổ đông 2% đứng giữa hai cổ đông 49% mạnh ngang hai người kia. Đây là giá trị Shapley áp cho biểu quyết, do Lloyd Shapley và Martin Shubik đề xuất năm 1954.
Ý tưởng: ai là người đẩy tổng qua vạch
Hãy tưởng tượng các thành viên lần lượt bước vào phòng và tuyên bố ủng hộ một đề xuất. Phiếu cộng dồn dần. Tới một lúc tổng vượt ngưỡng thông qua; người vừa bước vào lúc đó là người chốt (pivot). Nếu mọi thứ tự bước vào đều có khả năng như nhau, chỉ số Shapley–Shubik của một người là xác suất người đó là người chốt.
Shapley và Shubik công bố ý tưởng trong bài "A Method for Evaluating the Distribution of Power in a Committee System" trên tạp chí American Political Science Review năm 1954. Về mặt toán, đây đúng là giá trị Shapley (1953) của một bài toán mà liên minh đạt ngưỡng có giá trị 1, liên minh không đạt có giá trị 0. Phần "thành quả" được chia ở đây là chính quyền quyết định.
Cách tính tay với ba cổ đông
Một công ty có ba cổ đông: An giữ 50%, Bình 30%, Chi 20%. Nghị quyết thông thường cần trên 50% phiếu, tức ít nhất 51 trên 100. Có 3! = 6 thứ tự:
| Thứ tự | Cộng dồn | Người chốt |
|---|---|---|
| An → Bình → Chi | 50 → 80 | Bình |
| An → Chi → Bình | 50 → 70 | Chi |
| Bình → An → Chi | 30 → 80 | An |
| Bình → Chi → An | 30 → 50 → 100 | An |
| Chi → An → Bình | 20 → 70 | An |
| Chi → Bình → An | 20 → 50 → 100 | An |
An chốt 4 lần, Bình 1, Chi 1. Chỉ số: An 66,7%, Bình 16,7%, Chi 16,7%. An nắm một nửa cổ phần nhưng hai phần ba quyền lực, vì chỉ cần thêm bất kỳ ai là đủ. Bình giữ gấp rưỡi Chi mà quyền lực bằng Chi: cả hai chỉ có tác dụng khi bắt cặp với An, và Bình với Chi cộng lại chỉ được đúng 50, thiếu một phiếu.
Những cấu trúc cổ phần hay gặp và quyền lực thật
Bảng dưới tính theo ngưỡng thông qua "trên 50%" của tổng số phiếu, giả định mọi cổ đông đều có mặt.
| Cơ cấu cổ phần | Chỉ số Shapley–Shubik | Đọc thế nào |
|---|---|---|
| 51 / 30 / 19 | 100% / 0 / 0 | Người 51% tự quyết, hai người kia không đổi được gì |
| 50 / 30 / 20 | 66,7 / 16,7 / 16,7 | Người 50% cần một đồng minh bất kỳ |
| 45 / 35 / 20 | 33,3 / 33,3 / 33,3 | Hai người bất kỳ là đủ, nên ba người ngang nhau |
| 49 / 49 / 2 | 33,3 / 33,3 / 33,3 | Người 2% là "người phân xử" giữa hai bên lớn |
| 40 / 30 / 20 / 10 | 41,7 / 25 / 25 / 8,3 | Người 30% và người 20% mạnh ngang nhau |
Ví dụ 49 / 49 / 2 đáng ngẫm nhất. Khi hai cổ đông lớn bất đồng, người giữ 2% quyết định bên nào thắng. Trong thực tế, quyền lực đó có thể lớn hơn cả chỉ số cho thấy, vì cả hai bên đều phải mặc cả với họ. Đây là lý do các thoả thuận cổ đông thường có điều khoản xử lý thế bế tắc, thay vì để một cổ phần nhỏ quyết định mọi thứ.
Cách tính nhanh với bốn cổ đông
Bốn người có 4! = 24 thứ tự. Với 40 / 30 / 20 / 10 và ngưỡng 51, đếm được người 40% chốt trong 10 thứ tự, người 30% trong 6, người 20% trong 6, người 10% trong 2. Chia cho 24 ra bảng trên. Mẹo đếm: người 10% chỉ chốt khi những người đứng trước họ cộng lại được từ 41 đến 50 phiếu, chưa đạt ngưỡng nhưng thêm 10 thì đạt. Thử từng nhóm: {40} mới 40, thêm 10 được 50, vẫn thiếu; {30, 20} được 50, thêm 10 thành 60, đạt. Các nhóm khác hoặc quá ít, hoặc đã vượt ngưỡng từ trước. Vậy chỉ có nhóm {30, 20} đứng trước (2 cách xếp) và người 40% đứng sau (1 cách), được 2 thứ tự. Cách tự kiểm này đáng làm mỗi lần, vì nhầm giữa "đạt ngưỡng" và "suýt đạt" là lỗi phổ biến nhất khi tính tay.
Ngưỡng cao hơn thì quyền lực dịch chuyển
Luật doanh nghiệp ở nhiều nước, gồm Luật Doanh nghiệp 2020 của Việt Nam, đặt ngưỡng cao hơn quá bán cho những quyết định quan trọng, chẳng hạn 65% số phiếu của cổ đông dự họp. Cùng cơ cấu 40 / 30 / 20 / 10, đổi ngưỡng lên 65:
| Cổ đông | Ngưỡng 51 | Ngưỡng 65 |
|---|---|---|
| 40% | 41,7% | 58,3% |
| 30% | 25% | 25% |
| 20% | 25% | 8,3% |
| 10% | 8,3% | 8,3% |
Ngưỡng 65 làm người 40% mạnh hẳn lên: không còn liên minh nào đạt 65 mà thiếu họ (30 + 20 + 10 chỉ được 60). Người 20% thì tụt mạnh, vì cặp 30 + 20 từng đủ quá bán nay không còn đủ. Một thay đổi trong điều lệ, tưởng chỉ là kỹ thuật, có thể đổi cán cân giữa các cổ đông.
Thêm một chi tiết hay bị quên: khi ngưỡng tính trên số phiếu dự họp, cổ đông vắng mặt làm thay đổi cả bảng. Một cổ đông 20% vắng thì phần còn lại 80 phiếu, ngưỡng quá bán chỉ còn 41, và người 40% chỉ cần thêm một người bất kỳ trong hai người còn lại là thông qua được. Các quy định về tỉ lệ dự họp tối thiểu có mặt một phần là để hạn chế hiện tượng này. Phần pháp lý cụ thể nên hỏi luật sư hoặc người làm quản trị công ty, bài này chỉ bàn toán.
So với chỉ số Banzhaf
Chỉ số Banzhaf (1965) đếm các tập hợp thắng mà một người là then chốt, không quan tâm thứ tự. Với ngưỡng 51 ở cơ cấu 40 / 30 / 20 / 10, hai chỉ số cho cùng kết quả 41,7 / 25 / 25 / 8,3. Với ngưỡng 65, chúng tách nhau:
| Ngưỡng 65 | 40% | 30% | 20% | 10% |
|---|---|---|---|---|
| Shapley–Shubik | 58,3% | 25% | 8,3% | 8,3% |
| Banzhaf chuẩn hoá | 50% | 30% | 10% | 10% |
Shapley–Shubik dồn quyền về cổ đông lớn mạnh hơn. Lý do nằm ở cách đếm: Banzhaf coi mọi tập hợp như nhau, còn Shapley–Shubik tính theo số thứ tự, nên những liên minh rất nhỏ và rất lớn được đếm nặng hơn liên minh cỡ vừa. Với ngưỡng cao, người 40% là then chốt trong hầu hết liên minh lớn, nên được lợi. Không chỉ số nào sai; chúng trả lời hai câu hỏi hơi khác nhau, và người phân tích cẩn thận thường tính cả hai.
Giới hạn của chỉ số
- Giả định mọi thứ tự như nhau: ngoài đời, cổ đông có quan hệ, có phe. Hai người luôn bỏ phiếu cùng nhau thực chất là một khối.
- Không tính mặc cả bên lề: chỉ số đo quyền quyết định trong phòng họp, không đo ai có thông tin, ai điều hành hằng ngày.
- Không phải giá trị kinh tế: quyền lực biểu quyết khác quyền nhận cổ tức. Người 20% vẫn nhận 20% lợi nhuận được chia dù chỉ số quyền lực của họ là 0. Chỉ số không nói gì về việc cổ phần đáng giá bao nhiêu, và bài này không khuyên mua bán cổ phần nào.
Trong bài năm 1954, Shapley và Shubik còn áp chỉ số vào hệ thống lập pháp Mỹ gồm hai viện và quyền phủ quyết của tổng thống, như một minh hoạ rằng cách đo này áp được cho cả những cấu trúc nhiều tầng.
Góc nhìn hôm nay: đọc lại điều lệ nhóm của mình
Với một công ty gia đình, một nhóm bạn góp vốn mở quán hay một hợp tác xã, có thể tự làm bài tập:
- Ghi tỉ lệ phiếu và ngưỡng thông qua cho từng loại quyết định.
- Với ba hoặc bốn thành viên, liệt kê thứ tự và đếm người chốt như bảng trên.
- Xem ai có quyền lực bằng 0 và ai có quyền ngăn chặn (đứng ngoài thì không liên minh nào đạt ngưỡng). Nếu kết quả khác hẳn điều cả nhóm nghĩ, đó là lúc nên bàn lại, có luật sư đi cùng.
Đọc thêm: bài gốc năm 1954 của Shapley và Shubik dài chưa tới mười trang và viết rất dễ hiểu; cuốn của Felsenthal và Machover (1998) so sánh kỹ các chỉ số.
Câu hỏi thường gặp
Chỉ số Shapley–Shubik là gì?
Là cách đo quyền lực biểu quyết: xếp các thành viên theo mọi thứ tự, cộng dồn phiếu, đánh dấu người đưa tổng vượt ngưỡng. Tỉ lệ số thứ tự mà một người là người chốt chính là chỉ số của họ. Lloyd Shapley và Martin Shubik đề xuất năm 1954.
Cổ đông nắm 51% có toàn quyền không?
Với các nghị quyết chỉ cần quá bán và mọi cổ đông dự họp, người 51% tự thông qua được, chỉ số của họ là 100%. Nhưng với các quyết định cần ngưỡng cao hơn, như 65%, họ cần thêm đồng minh. Quyền cụ thể phụ thuộc điều lệ và luật, nên hỏi luật sư khi cần.
Vì sao cổ đông 45%, 35% và 20% có quyền lực bằng nhau?
Vì với ngưỡng quá bán, không ai một mình đủ, và hai người bất kỳ cộng lại đều vượt 50%. Mỗi người là người chốt trong đúng một phần ba số thứ tự. Số phiếu khác nhau nhưng vai trò trong việc tạo đa số như nhau.
Chỉ số Shapley–Shubik và Banzhaf cái nào đúng hơn?
Không cái nào đúng tuyệt đối. Shapley–Shubik xét thứ tự ủng hộ, Banzhaf xét tập hợp ủng hộ. Ở hội đồng nhỏ, ngưỡng quá bán, hai chỉ số hay trùng nhau; với ngưỡng cao, Shapley–Shubik thường dồn quyền về thành viên lớn nhiều hơn.
Cổ đông nhỏ có quyền lực gì không?
Có khi rất lớn, có khi bằng 0. Cổ đông 2% đứng giữa hai cổ đông 49% có quyền lực ngang hai người kia. Ngược lại, cổ đông 19% bên cạnh một người 51% không thay đổi được kết quả biểu quyết thông thường nào.