Chỉ số quyền lực Banzhaf đo sức nặng thật của một lá phiếu có trọng số bằng cách đếm: trong tất cả các nhóm có thể thắng biểu quyết, người đó là "lá phiếu then chốt" bao nhiêu lần, tức rút người đó ra thì nhóm đang thắng thành thua. Con số này thường khác xa tỉ lệ số phiếu. Ví dụ nổi tiếng nhất: ở hạt Nassau (bang New York) thập niên 1960, ba thành viên hội đồng nắm tổng cộng 5/30 phiếu, tức khoảng 17%, nhưng quyền lực thật bằng 0.
Số phiếu không phải là quyền lực
Trong biểu quyết có trọng số, mỗi thành viên có một số phiếu, và một đề xuất được thông qua khi tổng phiếu tán thành đạt ngưỡng (quota). Đại hội cổ đông, hội đồng của một hiệp hội gồm nhiều đơn vị lớn nhỏ, ban điều hành một quỹ chung đều vận hành theo kiểu này.
Trực giác bảo: ai có 30% phiếu thì có 30% tiếng nói. Nhưng một lá phiếu chỉ có tác dụng khi nó làm thay đổi kết quả. Nếu nhóm của bạn đã thắng dù có hay không có bạn, hoặc đã thua dù có thêm bạn, lá phiếu của bạn không đổi được gì. Quyền lực, theo cách hiểu này, là khả năng làm lệch cán cân.
Cách tính tay chỉ số Banzhaf
Lấy một hội đồng ba thành viên: A có 4 phiếu, B có 3 phiếu, C có 2 phiếu. Tổng 9, cần 6 phiếu để thông qua. Các bước:
- Liệt kê mọi liên minh thắng (tổng phiếu ≥ 6): {A, B} = 7, {A, C} = 6, {A, B, C} = 9. Liên minh {B, C} chỉ có 5, thua.
- Trong mỗi liên minh thắng, tìm người then chốt: rút người đó ra thì liên minh thành thua.
- Đếm số lần mỗi người là then chốt, rồi chia cho tổng số lần.
| Liên minh thắng | Tổng phiếu | Người then chốt |
|---|---|---|
| {A, B} | 7 | A (còn 3), B (còn 4) |
| {A, C} | 6 | A (còn 2), C (còn 4) |
| {A, B, C} | 9 | A (còn 5); rút B còn 6, rút C còn 7, vẫn thắng |
A then chốt 3 lần, B 1 lần, C 1 lần. Tổng 5 lần. Chỉ số Banzhaf chuẩn hoá: A 3/5 = 60%, B 20%, C 20%.
So với tỉ lệ phiếu: A có 44%, B 33%, C 22%. A mạnh hơn số phiếu cho thấy, vì không liên minh nào thắng được nếu thiếu A. B và C mạnh ngang nhau, dù B nhiều hơn C một phiếu: phiếu thứ ba của B không mở được cánh cửa nào mà C không mở được.
Hai cách viết chỉ số
Có hai phiên bản. Bản chuẩn hoá như trên, tổng bằng 100%, dùng để so ai mạnh hơn ai. Bản thô (còn gọi là chỉ số Penrose–Banzhaf hay xác suất then chốt) lấy số lần then chốt chia cho số liên minh có thể của những người còn lại, tức 2 mũ (n − 1). Với A là 3/4: nếu mỗi người khác bỏ phiếu ngẫu nhiên như tung đồng xu, A có 75% khả năng là người quyết định. Bản thô có ý nghĩa xác suất rõ ràng hơn, nhưng không cộng lại thành 100%.
Hạt Nassau và vụ kiện làm nên tên tuổi chỉ số
Hội đồng giám sát hạt Nassau, ngoại ô New York, giữa thập niên 1960 gồm sáu đại diện cho các đơn vị có dân số rất chênh nhau. Để bù chênh lệch, mỗi đại diện có số phiếu khác nhau: hai đại diện của thị trấn Hempstead mỗi người 9 phiếu, North Hempstead 7, Oyster Bay 3, Glen Cove 1, Long Beach 1. Tổng 30, cần 16 để thông qua.
John F. Banzhaf III, khi đó là một sinh viên luật, nhận ra điều kỳ lạ. Với ngưỡng 16, liên minh thắng cần ít nhất hai trong ba người lớn (9 + 9 = 18, 9 + 7 = 16). Ba người nhỏ cộng lại chỉ có 5 phiếu, ghép với một người lớn cũng chỉ được 14. Thêm hay bớt họ không bao giờ làm đổi kết quả.
| Đại diện | Số phiếu | Tỉ lệ phiếu | Số lần then chốt | Chỉ số Banzhaf |
|---|---|---|---|---|
| Hempstead 1 | 9 | 30% | 16 | 33,3% |
| Hempstead 2 | 9 | 30% | 16 | 33,3% |
| North Hempstead | 7 | 23,3% | 16 | 33,3% |
| Oyster Bay | 3 | 10% | 0 | 0% |
| Glen Cove | 1 | 3,3% | 0 | 0% |
| Long Beach | 1 | 3,3% | 0 | 0% |
Người có 7 phiếu mạnh ngang người có 9 phiếu; ba người có tổng 5 phiếu thì như ngồi dự khán. Banzhaf công bố phân tích này năm 1965 trên tạp chí Rutgers Law Review với nhan đề "Weighted Voting Doesn't Work: A Mathematical Analysis" (Biểu quyết có trọng số không vận hành được: một phân tích toán học). Lập luận của ông được các toà án bang New York viện dẫn khi xem xét các hội đồng hạt dùng biểu quyết có trọng số cuối thập niên 1960. Bài học kéo dài tới nay: gán phiếu tỉ lệ với quy mô không bảo đảm quyền lực tỉ lệ với quy mô.
Penrose đã nghĩ ra trước Banzhaf gần hai mươi năm
Nhà di truyền học người Anh Lionel Penrose (cha của nhà vật lý Roger Penrose) công bố cùng ý tưởng năm 1946 trên tạp chí của Hội Thống kê Hoàng gia Anh, khi bàn về thống kê của biểu quyết theo đa số trong các hội đồng đại diện. Penrose đi xa hơn: ông chỉ ra rằng nếu mỗi đơn vị bầu một đại diện rồi các đại diện biểu quyết với nhau, thì để mọi cử tri ở mọi đơn vị có sức nặng như nhau, quyền lực của đại diện nên tỉ lệ với căn bậc hai dân số, không phải với dân số. Kết quả này gọi là luật căn bậc hai Penrose.
Lý do: trong một đơn vị đông dân, khả năng một cử tri riêng lẻ làm lệch kết quả bầu đại diện giảm theo căn bậc hai số cử tri. Đơn vị đông gấp 4 lần thì mỗi cử tri ở đó "nhẹ" đi một nửa, nên đại diện của họ chỉ cần mạnh gấp 2 lần để bù lại.
Công trình của Penrose bị lãng quên một thời gian; Banzhaf tìm ra độc lập. Năm 1971, nhà xã hội học James Coleman đề xuất các biến thể đo "quyền ngăn chặn" và "quyền khởi xướng". Ngày nay giới nghiên cứu thường gọi chung là chỉ số Penrose–Banzhaf.
Cộng đồng Kinh tế châu Âu năm 1958: một thành viên không bao giờ quyết định
Ví dụ lịch sử thứ hai hay được dạy trong các giáo trình. Khi Cộng đồng Kinh tế châu Âu ra đời năm 1958 với sáu thành viên, Hội đồng Bộ trưởng biểu quyết theo đa số có trọng số trong một số lĩnh vực: Pháp, Tây Đức, Ý mỗi nước 4 phiếu; Bỉ, Hà Lan mỗi nước 2; Luxembourg 1. Tổng 17, cần 12.
Mọi trọng số trừ của Luxembourg đều là số chẵn. Tổng của bất kỳ nhóm nào không có Luxembourg cũng chẵn, nên không bao giờ bằng 11. Vì vậy không có tình huống nào lá phiếu của Luxembourg biến 11 thành 12. Chỉ số Banzhaf của Luxembourg bằng 0.
| Thành viên | Số phiếu | Tỉ lệ phiếu | Số lần then chốt | Banzhaf chuẩn hoá |
|---|---|---|---|---|
| Pháp, Tây Đức, Ý (mỗi nước) | 4 | 23,5% | 10 | 23,8% |
| Bỉ, Hà Lan (mỗi nước) | 2 | 11,8% | 6 | 14,3% |
| Luxembourg | 1 | 5,9% | 0 | 0% |
Bỉ và Hà Lan được lợi hơn tỉ lệ phiếu, Luxembourg mất trắng. Trên thực tế các quyết định thời đó thường đạt đồng thuận, nên con số 0 là một nhận xét toán học về quy chế hơn là mô tả chuyện đã xảy ra. Khi cộng đồng mở rộng năm 1973, trọng số và ngưỡng được đặt lại.
Banzhaf và Shapley–Shubik: hai cái thước khác nhau
Có một chỉ số đo quyền lực khác, ra đời sớm hơn (1954), của Lloyd Shapley và Martin Shubik. Shapley–Shubik xét mọi thứ tự các thành viên lần lượt ủng hộ, và tìm người đưa tổng vượt ngưỡng; Banzhaf xét mọi tập hợp, không quan tâm thứ tự. Trong nhiều ví dụ nhỏ hai chỉ số trùng nhau (hạt Nassau ra đúng 1/3 – 1/3 – 1/3 – 0 – 0 – 0 với cả hai), nhưng với hội đồng lớn và ngưỡng cao, chúng có thể lệch rõ. Ở ví dụ Cộng đồng châu Âu, Shapley–Shubik cho mỗi nước lớn 23,3%, mỗi nước vừa 15%, gần với Banzhaf.
Câu hỏi "chỉ số nào đúng" không có đáp án tuyệt đối. Banzhaf hợp khi ta coi mỗi người bỏ phiếu độc lập như tung đồng xu; Shapley–Shubik hợp khi hình dung các thành viên lần lượt tham gia và người cuối cùng "chốt" được thưởng.
Góc nhìn hôm nay: kiểm tra nhanh luật biểu quyết của một tổ chức
Khi một hội nhóm, hợp tác xã hay ban đại diện định đặt quy chế biểu quyết theo trọng số, vài câu hỏi giúp tránh lặp lại chuyện hạt Nassau:
- Có thành viên nào mà tổng phiếu của họ với mọi nhóm khác không bao giờ tạo ra khác biệt không? Nếu có, họ đang "dự khán".
- Có thành viên nào một mình đạt ngưỡng không? Nếu có, mọi người khác bằng 0.
- Đổi ngưỡng từ quá bán sang hai phần ba thì quyền lực dịch chuyển về đâu? Ngưỡng cao thường tăng quyền ngăn chặn cho thành viên nhỏ.
- Thêm hoặc bớt một phiếu cho một thành viên có làm đảo cấu trúc không? Đôi khi một phiếu chênh lệch làm thay đổi cả bảng.
Với dưới khoảng 15 thành viên, có thể liệt kê hết bằng bảng tính. Cuốn The Measurement of Voting Power của Dan Felsenthal và Moshé Machover (1998) là tài liệu chuẩn cho ai muốn đi sâu vào lịch sử và tranh luận quanh các chỉ số.
Câu hỏi thường gặp
Chỉ số Banzhaf là gì?
Chỉ số Banzhaf đo quyền lực của một thành viên trong biểu quyết có trọng số bằng số lần người đó là lá phiếu then chốt: rút người đó khỏi một liên minh đang thắng thì liên minh thành thua. Chia số lần then chốt của mỗi người cho tổng số lần của mọi người được chỉ số chuẩn hoá. Chỉ số này thường khác tỉ lệ số phiếu.
Cách tính chỉ số Banzhaf thế nào?
Liệt kê mọi liên minh có tổng phiếu đạt ngưỡng. Trong mỗi liên minh, đánh dấu những người mà nếu rút ra thì tổng tụt dưới ngưỡng. Đếm số dấu của từng người rồi chia cho tổng số dấu.
Vì sao có người có phiếu mà quyền lực bằng 0?
Vì số phiếu của họ không bao giờ đủ để biến một nhóm đang thua thành thắng. Ở hạt Nassau thập niên 1960, ba đại diện có 3, 1 và 1 phiếu, nhưng mọi liên minh thắng đều đã thắng nhờ hai trong ba người lớn. Ở Cộng đồng Kinh tế châu Âu năm 1958, Luxembourg có 1 phiếu nhưng các nước khác đều có số phiếu chẵn, nên phiếu lẻ không bao giờ quyết định.
John Banzhaf là ai?
John F. Banzhaf III là luật gia Mỹ, sau này là giáo sư luật ở Đại học George Washington. Năm 1965, khi còn trẻ, ông công bố phân tích về biểu quyết có trọng số ở hạt Nassau, làm nên chỉ số mang tên ông. Ông cũng được biết đến với nhiều vụ kiện vì lợi ích công cộng.
Chỉ số Banzhaf khác chỉ số Shapley–Shubik thế nào?
Banzhaf đếm các tập hợp thắng mà một người là then chốt, không quan tâm thứ tự. Shapley–Shubik đếm các thứ tự ủng hộ mà một người là người đưa tổng vượt ngưỡng. Hai chỉ số hay trùng nhau ở hội đồng nhỏ nhưng có thể lệch khi số thành viên lớn hoặc ngưỡng cao.