Bài toán phá sản trong Talmud là một câu đố gần 2.000 năm tuổi: một người chết để lại ba người vợ với các khoản được hứa 100, 200 và 300, nhưng di sản không đủ trả, vậy chia thế nào. Sách Mishnah ghi ba đáp án cho di sản 100, 200 và 300 mà suốt nhiều thế kỷ không ai giải thích được quy luật. Năm 1985, Robert Aumann và Michael Maschler chỉ ra cả ba đáp án tuân theo đúng một nguyên tắc nhất quán, và nguyên tắc đó trùng với một khái niệm hiện đại của lý thuyết hợp tác gọi là nucleolus.
Đoạn văn trong Mishnah
Mishnah là bộ luật truyền khẩu của Do Thái giáo, được ghi chép lại vào khoảng năm 200 sau Công nguyên; Talmud gồm Mishnah cùng phần bình giải Gemara. Trong tiểu luận Ketubot (hợp đồng hôn nhân), chương 10, có một đoạn xét trường hợp người đàn ông có ba vợ, hợp đồng hôn nhân của họ hứa lần lượt 100, 200 và 300 (tính bằng đơn vị tiền bạc thời đó) khi ông qua đời. Di sản không đủ trả cả ba. Mishnah đưa ra bảng sau:
| Di sản | Vợ được hứa 100 | Vợ được hứa 200 | Vợ được hứa 300 |
|---|---|---|---|
| 100 | 33⅓ | 33⅓ | 33⅓ |
| 200 | 50 | 75 | 75 |
| 300 | 50 | 100 | 150 |
Dòng đầu là chia đều. Dòng cuối là chia theo tỉ lệ 1 : 2 : 3. Dòng giữa thì chẳng giống quy tắc quen thuộc nào: không đều, không tỉ lệ. Ngay phần Gemara bình giải đoạn này cũng thấy khó lý giải. Các nhà bình giải đời sau có người cho rằng con số bị chép sai.
Manh mối: bài toán chiếc áo tranh chấp
Chìa khoá nằm ở một đoạn khác của Mishnah, mở đầu tiểu luận Bava Metzia: hai người cùng nắm một chiếc áo. Người thứ nhất nói "cả chiếc áo là của tôi", người thứ hai nói "một nửa là của tôi". Phán quyết: người thứ nhất được ba phần tư, người thứ hai được một phần tư.
Lý lẽ đằng sau: người thứ hai đã tự nhận rằng một nửa áo không phải của mình, nên nửa đó thuộc về người thứ nhất, không tranh cãi. Nửa còn lại cả hai cùng đòi, nên chia đôi. Người thứ nhất được 1/2 + 1/4 = 3/4, người thứ hai được 1/4. Quy tắc gọn lại thành: mỗi người trước hết nhận phần mà người kia nhường, phần tranh chấp chia đều. Aumann và Maschler gọi đây là nguyên tắc chiếc áo tranh chấp.
Lời giải của Aumann và Maschler năm 1985
Năm 1985, Robert Aumann (sau này nhận giải Nobel Kinh tế năm 2005) và Michael Maschler, cả hai ở Đại học Hebrew Jerusalem, công bố bài phân tích trên tạp chí Journal of Economic Theory. Phát hiện chính: bảng Mishnah là cách chia duy nhất sao cho bất kỳ hai người vợ nào, nhìn vào tổng số tiền hai người được chia, cũng chia với nhau đúng theo nguyên tắc chiếc áo.
Kiểm tra với di sản 200
Vợ 1 (hứa 100) và vợ 2 (hứa 200) được tổng 50 + 75 = 125. Áp nguyên tắc chiếc áo cho 125: vợ 1 chỉ đòi tối đa 100, nên 25 chắc chắn thuộc vợ 2. Vợ 2 đòi tối đa 200, lớn hơn 125, nên không nhường gì. Phần tranh chấp 100 chia đôi, mỗi người 50. Vợ 1: 50; vợ 2: 25 + 50 = 75. Khớp với Mishnah.
Vợ 2 và vợ 3 được tổng 75 + 75 = 150. Vợ 2 đòi 200, vợ 3 đòi 300, cả hai đều đòi nhiều hơn 150, không ai nhường gì. Chia đôi: 75 – 75. Khớp.
Vợ 1 và vợ 3 được tổng 50 + 75 = 125. Vợ 1 đòi 100, nên 25 thuộc vợ 3; phần tranh chấp 100 chia đôi. Vợ 1: 50; vợ 3: 75. Khớp.
Cả ba cặp đều khớp. Làm tương tự với di sản 100 và 300 cũng khớp. Aumann và Maschler chứng minh thêm: với mọi khoản di sản và mọi bộ khoản được hứa, luôn có đúng một cách chia nhất quán theo cặp như vậy.
Quy tắc tính nhanh: nửa khoản hứa và "bình thông nhau"
Lời giải Talmud có thể tính theo hai bước, dựa trên nửa khoản được hứa:
- Nếu di sản không quá một nửa tổng các khoản hứa: chia đều cho mọi người, nhưng không ai nhận quá nửa khoản của mình. Ai chạm trần nửa khoản thì dừng, phần còn lại chia đều cho những người khác.
- Nếu di sản vượt một nửa tổng: mỗi người trước hết nhận nửa khoản của mình. Phần thiếu hụt còn lại (tổng khoản hứa trừ di sản) chia đều cho mọi người, theo nghĩa mỗi người bị thiếu bằng nhau, nhưng không ai bị thiếu quá nửa khoản của mình.
Thử với di sản 200. Tổng khoản hứa 600, một nửa là 300; 200 nhỏ hơn 300, dùng bước 1. Nửa khoản lần lượt là 50, 100, 150. Chia đều 200 thì mỗi người 66⅔, nhưng vợ 1 chạm trần 50. Vợ 1 nhận 50, còn 150 chia đều cho hai người kia: 75 và 75, chưa ai chạm trần. Ra đúng 50 – 75 – 75.
Nhà kinh tế Marek Kaminski (2000) mô tả quy tắc này bằng hình ảnh các bình thông nhau: mỗi người là một bình hình đồng hồ cát cao bằng khoản được hứa, eo thắt ở giữa. Đổ di sản như nước vào hệ bình nối với nhau; mực nước dâng đều, và lượng nước trong mỗi bình là phần của người đó.
So với các quy tắc chia phá sản khác
Bài toán phá sản tổng quát: tài sản E không đủ trả các khoản đòi của chủ nợ. Ba quy tắc cổ điển khác cho kết quả rất khác Talmud. Lấy di sản 200, khoản đòi 100 / 200 / 300:
| Quy tắc | Cách làm | Đòi 100 | Đòi 200 | Đòi 300 |
|---|---|---|---|---|
| Tỉ lệ | Chia theo tỉ lệ khoản đòi | 33⅓ | 66⅔ | 100 |
| Chia đều có trần | Chia đều, không ai quá khoản đòi | 66⅔ | 66⅔ | 66⅔ |
| Chia đều phần thiệt | Ai cũng thiệt bằng nhau, không ai nhận âm | 0 | 50 | 150 |
| Talmud | Nhất quán theo nguyên tắc chiếc áo | 50 | 75 | 75 |
Quy tắc tỉ lệ là quy tắc của luật phá sản hiện đại: ở hầu hết các nước, kể cả theo Luật Phá sản 2014 của Việt Nam, các chủ nợ cùng thứ tự ưu tiên được thanh toán theo tỉ lệ khoản nợ khi tài sản không đủ. Lời giải Talmud nằm giữa: khi tài sản ít, nó nghiêng về chia đều (bảo vệ người đòi ít); khi tài sản gần đủ, nó nghiêng về chia đều phần thiệt (bảo vệ người đòi nhiều).
Vì sao các nhà lý thuyết hợp tác quan tâm
Aumann và Maschler không dừng ở việc giải mã. Họ viết bài toán phá sản thành ngôn ngữ liên minh: giá trị của một nhóm chủ nợ là số tiền chắc chắn còn lại cho họ sau khi những người ngoài nhóm đã được trả đủ (hoặc 0 nếu không còn gì). Với cách viết này, lời giải Talmud trùng với nucleolus, khái niệm do David Schmeidler đưa ra năm 1969: cách chia làm cho nhóm thiệt thòi nhất bớt thiệt thòi tới mức tối đa, rồi tới nhóm thiệt thòi thứ nhì, và cứ thế.
Trước đó, năm 1982, Barry O'Neill đã viết bài đầu tiên đặt bài toán chia tài sản Talmud vào khung lý thuyết hợp tác và đề xuất một số quy tắc chia. Từ hai bài báo này, "bài toán phá sản" trở thành một nhánh nghiên cứu riêng, với hàng trăm công trình so sánh các quy tắc theo những tính chất như nhất quán, đơn điệu, bất biến khi chia nhỏ.
Còn tranh luận: có phải các nhà soạn Mishnah thật sự nghĩ theo nguyên tắc chiếc áo, hay đây chỉ là một cách diễn giải hiện đại khớp với số liệu? Không có văn bản cổ nào nói rõ. Điều chắc chắn là bộ ba con số không phải ngẫu nhiên hay chép sai: chúng khớp với một nguyên tắc duy nhất được phát biểu ở chỗ khác trong cùng bộ sách.
Góc nhìn hôm nay: dùng nguyên tắc chiếc áo khi chia tiền thiếu
Nguyên tắc này hữu ích ngoài chuyện di sản. Hai người cùng cho một người bạn vay, A cho vay 10 triệu, B cho vay 4 triệu. Người bạn chỉ trả lại được 8 triệu. Chia theo tỉ lệ: A 5,7 triệu, B 2,3 triệu. Theo nguyên tắc chiếc áo: B chỉ đòi tối đa 4, nên 4 triệu chắc chắn thuộc A; B đòi 4 trong khi tiền có 8, A đòi 10 nhiều hơn 8, A không nhường gì. Phần tranh chấp 4 triệu chia đôi: A 4 + 2 = 6 triệu, B 2 triệu.
Đây không phải lời khuyên pháp lý; khi tranh chấp thật, luật áp dụng và thoả thuận giữa các bên mới là căn cứ, và nên hỏi luật sư. Nhưng như một cách để nhóm bạn bè thống nhất với nhau, nguyên tắc "phần ai nhường thì của người kia, phần cùng đòi thì chia đôi" dễ giải thích hơn nhiều công thức khác. Bài báo năm 1985 của Aumann và Maschler, tuy đăng tạp chí chuyên ngành, có phần mở đầu kể lại câu chuyện rất dễ đọc.
Câu hỏi thường gặp
Bài toán phá sản trong Talmud là gì?
Là đoạn Mishnah trong tiểu luận Ketubot xét người chết để lại ba vợ được hứa 100, 200 và 300, với di sản 100, 200 hoặc 300. Đáp án ghi trong sách là 33⅓ mỗi người, 50 – 75 – 75 và 50 – 100 – 150. Quy luật đằng sau bảng này được Aumann và Maschler giải thích năm 1985.
Nguyên tắc chiếc áo tranh chấp là gì?
Hai người cùng giữ một chiếc áo, một người nói cả áo là của mình, người kia nói một nửa. Phần người kia đã nhường thuộc về người thứ nhất, phần cả hai cùng đòi chia đôi, nên kết quả là 3/4 và 1/4. Lời giải Talmud cho ba người là cách chia duy nhất mà mọi cặp đều tuân theo nguyên tắc này.
Aumann và Maschler là ai?
Robert Aumann và Michael Maschler là hai nhà toán học ở Đại học Hebrew Jerusalem, chuyên về lý thuyết hợp tác và ra quyết định chiến lược. Aumann nhận giải Nobel Kinh tế năm 2005. Maschler đồng tác giả nhiều khái niệm như tập thương lượng và một giáo trình lớn về lĩnh vực này.
Luật phá sản hiện nay chia tài sản theo cách nào?
Phần lớn luật phá sản hiện đại, kể cả Luật Phá sản 2014 của Việt Nam, chia theo thứ tự ưu tiên, và chủ nợ cùng thứ tự được trả theo tỉ lệ khoản nợ. Lời giải Talmud không phải quy tắc pháp lý hiện hành. Vụ việc cụ thể cần hỏi luật sư.
Lời giải Talmud khác chia theo tỉ lệ thế nào?
Khi tài sản ít, lời giải Talmud gần với chia đều, nên người đòi ít được nhiều hơn so với chia tỉ lệ. Khi tài sản gần đủ, nó gần với chia đều phần thiệt, nên người đòi nhiều được nhiều hơn. Đúng tại điểm tài sản bằng nửa tổng khoản đòi, nó trùng với chia tỉ lệ.