Chia tiền thuê nhà theo phòng công bằng nghĩa là định giá riêng cho từng phòng sao cho tổng đúng bằng tiền thuê và không ai muốn đổi phòng của mình lấy phòng người khác với giá của phòng đó. Năm 1999, nhà toán học Francis Su chứng minh cách chia như vậy luôn tồn tại, dựa trên bổ đề Sperner của tô-pô học. Với ba người, có thể tính tay trong mười phút: mỗi người tự định giá các phòng, tìm cách xếp phòng có tổng định giá lớn nhất, rồi chia phần dư đều.
Vì sao chia đều hay chia theo diện tích dễ sinh bất mãn
Ba người An, Bình, Chi thuê chung một căn hộ ba phòng ngủ giá 9 triệu đồng mỗi tháng. Phòng A rộng 18 m², có ban công. Phòng B 15 m², có cửa sổ. Phòng C 12 m², sát cầu thang, hơi ồn. Hai cách quen thuộc:
- Chia đều, mỗi người 3 triệu. Ai được phòng A thì lời, ai phải ở phòng C thì thấy thiệt.
- Chia theo diện tích: tổng 45 m², mỗi m² 200 nghìn đồng, nên A 3,6 triệu, B 3 triệu, C 2,4 triệu. Hợp lý hơn, nhưng diện tích không phải thứ duy nhất người ta để ý. Ban công, ánh sáng, tiếng ồn, ai làm ca đêm cần yên tĩnh, ai hay nấu ăn cần gần bếp, mỗi người coi trọng một kiểu.
Bài toán thật là: mỗi người có một bảng định giá riêng, và ta cần một bảng giá phòng sao cho, nhìn vào bảng giá đó, mỗi người đều thấy phòng mình đang ở là lựa chọn tốt nhất. Đó chính là chia không ghen tị khi có tiền bù.
Định lý Su 1999: luôn có cách chia không ai ghen
Bài "Rental Harmony: Sperner's Lemma in Fair Division" của Francis Su, giáo sư Đại học Harvey Mudd, đăng trên tạp chí American Mathematical Monthly năm 1999, chứng minh: với n người và n phòng, luôn có một cách chia tiền thuê và xếp phòng mà không ai ghen, chỉ cần một giả thiết nhẹ gọi là người thuê keo kiệt: nếu có phòng miễn phí, ai cũng thích phòng miễn phí hơn phòng phải trả tiền. Su ghi nhận ý tưởng gốc thuộc về Forest Simmons (1980) và các kết quả tô-pô của Stromquist và Woodall.
Bổ đề Sperner trong một tam giác
Với ba người, mọi cách chia 9 triệu cho ba phòng có thể vẽ thành các điểm trong một tam giác. Mỗi đỉnh tam giác là cách "một phòng gánh hết 9 triệu, hai phòng kia miễn phí". Một điểm ở giữa tam giác là cách chia mà cả ba phòng đều có giá.
- Chia tam giác lớn thành nhiều tam giác nhỏ, như lưới.
- Gán mỗi đỉnh lưới cho một người, sao cho mỗi tam giác nhỏ có đủ ba người ở ba đỉnh. Việc gán như vậy luôn làm được.
- Tại mỗi đỉnh, hỏi người được gán: "Với cách chia giá ở điểm này, bạn chọn phòng nào?" Ghi tên phòng lên đỉnh.
- Giả thiết người thuê keo kiệt bảo đảm ở viền tam giác, nơi có phòng miễn phí, không ai chọn phòng đắt nhất. Bổ đề Sperner khi đó khẳng định: có ít nhất một tam giác nhỏ mà ba đỉnh mang ba tên phòng khác nhau.
Tại tam giác nhỏ đó, ba người khác nhau, với ba cách chia giá gần như giống nhau, chọn ba phòng khác nhau. Làm lưới càng mịn, ba cách chia càng gần nhau; giới hạn cho một cách chia mà ai cũng có phòng mình muốn nhất. Chứng minh này đẹp vì không giả định gì về cách mỗi người cân nhắc tiền với phòng, nhưng muốn dùng thật phải hỏi nhiều lần. Năm 2014, báo The New York Times dựng một công cụ chia tiền thuê trực tuyến theo đúng cách hỏi lần lượt này.
Cách tính tay cho nhóm bạn: định giá rồi tối ưu
Một cách thực dụng hơn, dùng trong trang Spliddit do nhóm của Ariel Procaccia (Đại học Carnegie Mellon) xây dựng, giả định mỗi người quy đổi được phòng ra tiền. Các bước:
- Mỗi người độc lập chia 9 triệu cho ba phòng theo mức mình sẵn lòng trả. Tổng mỗi hàng phải đúng 9 triệu.
- Thử mọi cách xếp ba người vào ba phòng (với ba người là 6 cách), cộng định giá của người được xếp với phòng của họ. Chọn cách có tổng lớn nhất.
- Phần chênh giữa tổng đó và 9 triệu gọi là thặng dư. Thử chia thặng dư đều: giá phòng của mỗi người bằng định giá của họ cho phòng đó trừ một phần ba thặng dư.
- Kiểm tra không ai ghen. Nếu có người ghen, dịch giá trong dải cho phép (xem phần bất đẳng thức bên dưới).
Bước 1: bảng định giá (triệu đồng)
| Người | Phòng A (ban công) | Phòng B (cửa sổ) | Phòng C (sát cầu thang) | Tổng |
|---|---|---|---|---|
| An | 5,0 | 2,5 | 1,5 | 9 |
| Bình | 4,0 | 3,0 | 2,0 | 9 |
| Chi | 3,5 | 3,0 | 2,5 | 9 |
Bước 2: thử sáu cách xếp
| An – Bình – Chi | Tổng định giá |
|---|---|
| A – B – C | 5,0 + 3,0 + 2,5 = 10,5 |
| A – C – B | 5,0 + 2,0 + 3,0 = 10,0 |
| B – A – C | 2,5 + 4,0 + 2,5 = 9,0 |
| B – C – A | 2,5 + 2,0 + 3,5 = 8,0 |
| C – A – B | 1,5 + 4,0 + 3,0 = 8,5 |
| C – B – A | 1,5 + 3,0 + 3,5 = 8,0 |
Cách tốt nhất: An ở A, Bình ở B, Chi ở C, tổng 10,5 triệu.
Bước 3: chia thặng dư
Thặng dư 10,5 − 9 = 1,5 triệu, mỗi người 0,5 triệu. Giá phòng: A = 5,0 − 0,5 = 4,5 triệu; B = 3,0 − 0,5 = 2,5 triệu; C = 2,5 − 0,5 = 2,0 triệu. Cộng lại 9 triệu.
Bước 4: kiểm tra
Với mỗi người, "lời" khi ở một phòng là định giá của mình trừ giá phòng.
| Người | Lời nếu ở A (giá 4,5) | Lời nếu ở B (giá 2,5) | Lời nếu ở C (giá 2,0) |
|---|---|---|---|
| An (ở A) | 0,5 | 0 | −0,5 |
| Bình (ở B) | −0,5 | 0,5 | 0 |
| Chi (ở C) | −1,0 | 0,5 | 0,5 |
Không ai lời hơn khi đổi phòng. Chi thấy B và C ngang nhau ở mức giá này, nên không ghen Bình. Mỗi người "lời" đúng 0,5 triệu so với mức mình sẵn lòng trả.
So với chia theo diện tích (3,6 – 3,0 – 2,4): Bình định giá A là 4,0, nên ở A với giá 3,6 Bình lời 0,4, trong khi ở B với giá 3,0 thì lời 0. Bình sẽ ghen An. Bảng giá theo diện tích trông công bằng, nhưng không khớp với cách nhóm này thật sự coi trọng các phòng.
Dải giá không ai ghen: các bất đẳng thức
Thường có nhiều bảng giá không ai ghen, không chỉ một. Với cách xếp A – B – C, mỗi người không ghen nghĩa là lời ở phòng mình lớn hơn hoặc bằng lời ở phòng khác. Viết ra:
- An: 5 − giá A ≥ 2,5 − giá B, tức giá A − giá B ≤ 2,5. Và giá A − giá C ≤ 3,5.
- Bình: 3 − giá B ≥ 4 − giá A, tức giá A − giá B ≥ 1. Và giá B − giá C ≤ 1.
- Chi: 2,5 − giá C ≥ 3,5 − giá A, tức giá A − giá C ≥ 1. Và giá B − giá C ≥ 0,5.
Vậy chênh lệch A với B phải nằm trong khoảng 1 đến 2,5 triệu, chênh lệch B với C trong khoảng 0,5 đến 1 triệu. Bảng giá 4,5 – 2,5 – 2,0 có chênh lệch 2 và 0,5, nằm trong dải. Một bảng khác cũng hợp lệ: chênh lệch 1 và 0,5, cho giá C = 7/3 ≈ 2,33, B ≈ 2,83, A ≈ 3,83 triệu. Bảng này có lợi cho An (lời 1,17) và ít lợi cho Bình, Chi (mỗi người lời 0,17). Cả hai bảng đều không ai ghen, nhưng bảng chia thặng dư đều "dễ nói chuyện" hơn.
Spliddit chọn trong dải không ai ghen bảng giá làm cho người lời ít nhất được lời nhiều nhất có thể. Lựa chọn này được Ya'akov Gal, Moshe Mash, Ariel Procaccia và Yair Zick phân tích trong bài "Which is the fairest (rent division) of them all?" năm 2016. Một định lý từ thập niên 1970 về thị trường ghép cặp bảo đảm rằng với cách xếp phòng có tổng định giá lớn nhất, dải giá không ai ghen luôn khác rỗng.
Những chỗ hay vướng khi làm thật
- Định giá không trung thực. Ai biết trước định giá của người khác có thể hạ định giá phòng mình muốn để được giá rẻ hơn, với rủi ro mất phòng. Giữ bí mật bảng định giá cho tới khi mọi người nộp xong làm giảm chuyện này.
- Giá âm. Nếu một phòng quá tệ, chẳng hạn chỉ là gác xép không cửa sổ, dải không ai ghen có thể đòi giá phòng đó âm, tức những người kia phải trả thêm cho người ở đó. Về toán thì đúng; về đời sống, nhóm có thể chấp nhận hoặc thoả thuận giá sàn bằng 0.
- Thuê theo đầu người, không theo phòng. Nếu hai người ở chung một phòng, coi phòng đó là hai "chỗ", mỗi chỗ có giá riêng.
- Tiền điện nước và phí chung nên tách riêng khỏi tiền phòng và chia theo cách khác, vì chúng phụ thuộc mức dùng chứ không phụ thuộc phòng.
Góc nhìn hôm nay
Ở các thành phố lớn, ở ghép căn hộ nhiều phòng đã rất phổ biến, và cãi nhau vì tiền phòng là lý do quen thuộc khiến nhóm ở ghép tan rã. Một buổi tối ngồi điền bảng định giá, thử sáu cách xếp và chia thặng dư mất chưa tới nửa giờ, nhưng cho ra con số mà ai cũng thấy mình chọn đúng. Khi có người dọn đi và người mới vào, làm lại từ đầu với người mới thay vì giữ giá cũ.
Đọc thêm: bài "Rental Harmony" của Francis Su viết cho người có toán phổ thông, có hình tam giác minh hoạ; cuốn Mathematics for Human Flourishing (2020) của Su bàn về toán và sự công bằng theo nghĩa rộng hơn.
Câu hỏi thường gặp
Làm sao chia tiền thuê nhà công bằng khi các phòng khác nhau?
Mỗi người tự chia tổng tiền thuê cho các phòng theo mức mình sẵn lòng trả. Tìm cách xếp người vào phòng có tổng định giá lớn nhất, lấy tổng đó trừ tiền thuê ra thặng dư, rồi chia thặng dư đều để ra giá từng phòng. Cuối cùng kiểm tra không ai muốn đổi phòng.
Định lý chia tiền thuê nhà của Francis Su nói gì?
Su chứng minh năm 1999 rằng với n người và n phòng luôn có cách chia tiền thuê và xếp phòng mà không ai muốn đổi, miễn là ai cũng thích phòng miễn phí hơn phòng phải trả tiền. Chứng minh dùng bổ đề Sperner về tô màu đỉnh của lưới tam giác.
Chia tiền phòng theo diện tích có công bằng không?
Chỉ công bằng khi mọi người coi trọng diện tích như nhau và không quan tâm gì khác. Nếu có người quý ban công, ánh sáng hay sự yên tĩnh, bảng giá theo diện tích có thể làm họ thấy phòng người khác lời hơn. Ví dụ trong bài cho thấy chia theo diện tích làm một người ghen, còn chia theo định giá thì không.
Bổ đề Sperner là gì?
Là một kết quả tổ hợp: chia một tam giác thành lưới tam giác nhỏ, tô mỗi đỉnh bằng một trong ba màu theo một luật ở viền, thì luôn có ít nhất một tam giác nhỏ mang đủ ba màu. Trong bài toán tiền thuê, ba màu là ba phòng, và tam giác đủ màu cho cách chia mà ba người chọn ba phòng khác nhau.
Có công cụ nào tính chia tiền thuê nhà không ghen tị không?
Có. Trang Spliddit của nhóm Ariel Procaccia nhận bảng định giá của từng người và trả về cách xếp phòng cùng giá không ai ghen. Với ba người, có thể tự tính tay bằng cách thử sáu cách xếp như trong bài.